Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела относительно неподвижной оси

2.4.1. Кинетический момент механической системы.

Момент количества движения материальной точки относительно выбранного центра называется ее кинетическим моментом

, (2.11)

здесь - радиус – вектор точки относительно неподвижного центра О.

Кинетическим моментом механической системы относительно центра О называется геометрическая сумма (главный момент) количеств движения составляющих эту систему материальных точек относительно этого же центра О:

. (2.12)

Проецируя (2.12) на оси неподвижной декартовой системы координат , получим выражения для соответствующих проекций (иногда их называют моментами количеств движения относительно соответствующих осей):

;

(2.13)

.

Для механических систем с непрерывным распределением массы в выражениях (2.12) и (2.13) суммирование следует заменить интегрированием.

Кинетический момент системы, вычисленный относительно неподвижного центра О (его проекция на ось, проходящую через точку О), является векторной мерой, характеризующей вращение механической системы относительно неподвижного центра (оси).

В качестве примера вычислим кинетический момент тела при его вращении вокруг неподвижной точки и вокруг неподвижной оси.

Выделим в твердом теле в окрестности точки, положение которой определяется радиусом – вектором (рис.2.6), элементарный объем , масса которого так же элементарна ( - плотность материала в окрестности выбранной точки).

Тогда кинетический момент тела относительно неподвижной точки О определиться интегралом по занимаемой телом области пространства

. (2.14)

В декартовой координатной системе . Если теперь применить правило векторного перемножения

, то для кинетического момента получим

(2.15)

В сжатом виде это выражение обычно записывают так:

(2.16)

Величины ; ;

называются моментами инерции тела относительно осей , и , соответственно, а , , - центробежными моментами инерции твердого тела. Все эти величины характеризуют инерционные свойства тела при вращении. Они являются характеристиками распределения массы в твердом теле. Для однородных тел, у которых плотность постоянна, соотношения между моментами инерции определяются только формой тела и расположением координатных осей . Более подробные сведения о моментах инерции изложены в главе 6 настоящего пособия.

Из шести моментов инерции составляют симметрическую матрицу

,

которую называют тензором инерции. С помощью тензора компоненты вектора выражаются через компоненты вектора в очень простой форме:

. (2.17)

В частном случае, когда тело вращается вокруг неподвижной оси и , кинетический момент тела определяется выражением

. (2.18)

2.4.2. Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра. Рассмотрим механическую систему из материальных точек с массами , радиусы – векторы, скорости и ускорения которых в инерциальной системе отсчета с центром О равны , и , , соответственно.

Выражение (2.5) векторно домножим на слева

и просуммируем для всех точек механической системы. Получим

.

Первое слагаемое в правой части представляет собой главный момент внешних сил, действующих на точки механической системы, вычисленный относительно неподвижного центра О. Второе слагаемое было рассмотрено выше; оно представляет собой равный нулю главный момент внутренних сил. Стоящая в левой части равенства сумма преобразуется к виду

.

Окончательно получится следующий результат

, (2.19)

являющийся математической записью теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра О: производная по времени от кинетического момента механической системы, вычисленного относительно неподвижного центра, равна главному моменту внешних сил относительно этого центра.

Проецируя (2.19) на оси декартовой координатной системы , получим

, , . (2.20)

Из формулы (2.19) следует, что если главный момент внешних сил окажется равным нулю, то на рассматриваемом интервале времени кинетический момент механической системы не изменяется.

Если окажется, что равна нулю проекция на какую-либо координатную ось главного момента внешних сил, то будет постоянной проекция на эту ось вектора кинетического момента механической системы.

ПРИМЕР 2.4 (задача 37.58 из [2]). Тележка поворотного подъемного крана движется с постоянной скоростью относительно стрелы (см. рис.2.7).

Мотор, вращающий кран, создает в период разгона постоянный момент, равный .

Определить угловую скорость вращения крана в зависимости от расстояния тележки до оси вращения АВ, если масса тележки с грузом равна , - момент инерции крана (без тележки) относительно оси вращения; вращение начинается в момент, когда тележка находилась на расстоянии от оси АВ.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим механическую систему, состоящую из поворотного крана и тележки. Внешними усилиями, действующими на нее, являются силы веса, силы реакций в опорных подшипниках А и В, момент , поворачивающий кран. Заметим, что все перечисленные силы не создают моментов относительно оси вращения, так как либо параллельны ей либо ее пересекают.

Составим для рассматриваемой механической системы последнее выражение из (2.20):

.

Разделим переменные и выполним интегрирование. Тогда

, где .

Составим выражение для кинетического момента системы

, выразим время через скорость движения тележки и ее перемещение вдоль стрелы крана как и учтем эти выражения в результатах интегрирования. Окончательно получим

.

2.4.3. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси ; закон изменения во времени угла поворота задан. Из (2.18) найдем проекцию вектора кинетического момента на ось вращения и подставим ее в третье уравнение из (2.20). Окончательно имеем:

или , (2.21)

где и - угловое ускорение и угловая скорость вращения. Выражение (2.21) является дифференциальным уравнением первого порядка относительно угловой скорости вращения, либо дифференциальным уравнением второго порядка относительно угла поворота тела. Заметим, что структура формулы (2.21) совпадает (изоморфна) со структурами основного закона динамики точки (1.5) и теоремы о движении центра масс (2.6); отмеченная особенность позволяет при решении задач этого параграфа применять математические приемы, используемые ранее.

ПРИМЕР 2.5 (задача 37.9 из [2]). Шарик А, находящийся в сосуде с жидкостью и прикрепленный к концу стержня АВ длины , приводится во вращение вокруг вертикальной оси СD с начальной угловой скоростью (см. рис.2.8).

Сила сопротивления жидкости пропорциональна угловой скорости вращения: , где - масса шарика, - коэффициент пропорциональности. Определить, через какой промежуток времени угловая скорость вращения станет в два раза меньше начальной, а так же число оборотов , которое сделает стержень с шариком за этот промежуток времени. Массу шарика считать сосредоточенной в его центре, массой стержня пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим твердое тело в виде оси СD и стержня АВ , масса которого сосредоточена в точке А. Силы, приложенные к этому телу, это сила тяжести, силы реакций в опорных подшипниках С и D, сила сопротивления движению . Заметим, что момент относительно оси вращения создает только сила сопротивления. Запишем для рассматриваемого тела дифференциальное уравнение вращательного движения:

.

Разделим переменные и возьмем от обеих частей равенства определенные интегралы

.

Окончательно для искомого промежутка времени получим выражение

.

Для нахождения сделанного числа оборотов вернемся к исходному дифференциальному уравнению. Выполним замену переменных, умножив и разделив его левую часть на .

.

Разделим переменные и возьмем определенные интегралы от обеих частей равенства:

.

Окончательно для числа оборотов получим выражение

.

Заметим, что ход решения не отличается от выполненного в примере 1.2.

Поиск по сайту: