Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Продуктивные модели Леонтьева



 

Матрица А, все элементы которой неотрицательны, на­зывается продуктивной, если для любого вектора с неот­рицательными компонентами существует решение уравнения (16.6) — вектор , все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Для уравнения типа (16.6) разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особеннос­тей. Укажем некоторые ее основные моменты. Приведем без доказательства важную теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы.

ТЕОРЕМА 16.1. Если для матрицы А с неотрицательными элементами и некоторого вектора с неотрицательными компонентами уравнение (16.6) имеет решение с неотри­цательными компонентами, то матрица А продуктивна.

 

Иными словами, достаточно установить наличие положи­тельного решения системы (16.6) хотя бы для одного положи­тельного вектора , чтобы матрица А была продуктивной. Пе­репишем систему (16.6) с использованием единичной матрицы Е в виде

 

 

Если существует обратная матрица (E - А)-1 , то существует и единственное решение уравнения (16.7):

 

 

Матрица (Е — А)-1 называется матрицей полных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матри­цы А. Приведем два из них.

Первый критерий продуктивности. Матрица А продукти­вна тогда и только тогда, когда матрица (Е - А)-1 сущест­вует и ее элементы неотрицательны.

Второй критерий продуктивности. Матрица А с неотри­цательными элементами продуктивна, если сумма элемен­тов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

 

причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Рассмотрим применение модели Леонтьева на несложных примерах.

Пример 1. В табл. 16.4 приведены данные по балансу за не­который период времени между пятью отраслями промышлен­ности. Найти векторы конечного потребления и валового вы­пуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и опре­делить, является ли она продуктивной в соответствии с при­веденными выше критериями.

 

 

Решение. В данной таблице приведены составляющие ба­ланса в соответствии с соотношениями (16.2): xij — первые пять столбцов, уi — шестой столбец, xi последний столбец (i,j = 1, 2, 3, 4, 5). Согласно формулам (16.3) и (16.4), имеем

 

 

Все элементы матрицы А положительны, однако нетрудно видеть, что их сумма в третьем и четвертом столбцах боль­ше единицы. Следовательно, условия второго критерия продук­тивности не соблюдены и матрица А не является продуктив­ной. Экономическая причина этой непродуктивности заключа­ется в том, что внутреннее потребление отраслей 3 и 4 слиш­ком велико в соотношении с их валовыми выпусками.

Пример 2. Табл. 16.5 содержит данные баланса трех отрас­лей промышленности за некоторый период времени. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30 условных денежных единиц.

 

 

Решение. Выпишем векторы валового выпуска и конеч­ного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формулам (16.3) и (16.4), имеем

 

 

Матрица А удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного потребления новый вектор конечного продукта будет иметь вид

 

 

Требуется найти новый вектор валового выпуска *, удов­летворяющий соотношениям баланса в предположении, что матрица А не изменяется. В таком случае компоненты x1, x2, х3 неизвестного вектора * находятся из системы уравнений, которая согласно (16.4) имеет в данном случае вид

 

 

В матричной форме эта система выглядит следующим об­разом:

 

 

или

 

 

где матрица (Е — А) имеет вид

 

 

Решение системы линейных уравнений (16.11) при заданном векторе правой части (16.9) (например, методом Гаусса) да­ет новый вектор * как решение системы уравнений баланса (16.10):

 

 

Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное уве­личение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и пе­реработку углеводородов на 52,2%, уровень энергетики — на 35,8% и выпуск продукции машиностроения — на 85% по срав­нению с исходными величинами, указанными в табл. 16.5.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.