Философский материализм 10 страница

2. Требование инвариантности нового уравнения по отношению к системе преобразований, считаю­щихся обязательными для всякой физич. теории вообще, и дополнит, преобразований, специфичных для данной области явлений. Важнейшее из таких общих требований — требование релятивистской ин­вариантности: неизменность по отношению к преобра­зованиям Лоренца.

/ 3. Соблюдение оиредел. системы законов сохранения. Фундаментальными законами сохранения, с к-рыми должны согласовываться М. г. всех без исключения типов и конкретных форм, являются законы сохра­нения энергии, импульса, момента количества дви­жения, массы,электрич.заряда.В онредел. областях явлений должны выполняться и другие, более част­ные законы сохранения, напр. законы сохранения странности, четности, барионного заряда. Возможно, однако, выдвижение М. г., вступающих в противо­речие с этими частными законами сохранения. Но, как показывает опыт, в таких случаях появляется новый закон сохранения, специфичный именно для данной области явлений. Требование соблюдения системы законов сохранения связано с требованием инвариант­ности уравнений по отношению к соответств. типам преобразований.

4. Принцип причинности. Практически он в боль­шинстве случаев выступает в форме положения о том, что причинами данного явления могут быть только явления, предшествующие ему во времени. Условие причинности широко применяется в совр. физике и имеет большое эвристич. значение.

5. Требование простоты и стройности математич. уравнений. При построении М. г. предпочитаются уравнения, не содержащие производных больших порядков, больших степеней искомых функций, более симметричные но отношению к входящим в них эле­ментам и т. п. Это требование, часто применяющееся явно или неявно в творч. работе ученых, ничего общего не имеет с махистским «принципом экономии мышле­ния» (см. Махизм).

Позитивисты пытались выдвинуть в качестве регу­лятивного принципа построения М. г. т. н. «начало принципиальной наблюдаемости». Согласно ему, фи­зич. теория, а том самым и М. г., лежащая в ее основе, должна принципиально исключать всякого рода величины, не являющиеся «наблюдаемыми», т. е. не­посредственно не проявляющимися в чувств, опыте и не фигурирующими в существующих теориях. Это «начало» служит помехой в развитии науч. познания, и даже те из ученых, к-рые принимали его, фактически отбрасывают его в реальной творч. работе, когда возникает необходимость сделать существ, шаг впе­ред в познании, связанный с выходом за рамки налич­ного эмпирич. материала и за пределы круга преж­них представлений.

Указанные регулятивные принципы очерчивают границы и намечают общие линии поисков рацио­нальных М. г. и тем самым значительно суживают круг возможных конкретных форм М. г., могущих конкурировать друг с другом в ходе поисков законов новых областей явлений. Но они однозначно не опре­деляют к.-л. одну из форм в качестве единственно правильной. Решающее слово здесь также принад­лежит опыту.

Метод М. г.— исключительно плодотворный метод совр. теоретич. физики. Но он с успехом может быть применен и в др. науках, в к-рых законы выра­жаются в виде точных количеств, соотношений.

Лит.: Вавилов С. И., Ленин и совр. физика, Собр. соч., т. 3, М., 1956; Б о р н М., Эксперимент и теория в фи­зике, «Успехи физ. наук», 1958, т. 66, вып. 3; Кузнецов И. В., ОМ. г., «Вопр. философии», 1962, № 10.

И. Кузнецов. Москва.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ,полная математическая индукция (паз. в ма­тематике часто просто полной индукцией; в этом случае это понятие следует отличать от рассматри­ваемого в нематематич. формальной логике понятия полной индукции), — прием доказательства общих пред­ложений в математике и др. дедуктивных науках; особое значение имеет в связи с рассмотрением бесконечных дискретных процес­сов. Известно много различных форм М. и., но чаще всего этот термин применяют к следующему приему: доказывается, что (1) число 0 обладает нек-рым свой­ством Р [(1) наз. базой индукции] и что (2), если произвольное натуральное число п обладает свойством Р (т.н. индуктивное предпо­ложение), то и непосредственно следующее за ним (в ряду 0, 1, 2, ...) число п также обладает этим свойством [(2) наз. индукционным шагом); отсюда делается вывод, что всякое натуральное число т обладает свойством Р (свойстио Р наз. и н д у к-ц и о н н ы м). Символически этот метод часто выра­жается следующей схемой аксиом:

P(0)&V_n (p (n)ZD Р (г?/)) zd VmP(m). (I)

Обоснование М. и. обычно усматривается в том что из V n(P(n)ZDP(n')) по правилам логики сразу может быть выведено каждое из предложений

Р(0)=>Р(1), Р(1)гэР(2), Р(2)=)Р(3), ...

и далее Р(0) вместе с P(0)Z)P(1) позволяет получить Р(1), Р(1) вместе с P(1)Z)P(2) позволяет получить Р(2) и далее таким же образом может быть получено каждое из предложений />(3), Р(4), ..., т. е. может быть доказано каждое предложение Р(п), где п — любая из цифр 0, 1, 2, ..., а истинность каждого из этих предложений означает истинность общего предложения VmP(m).

Имеются нек-рые др. формы М. и., сводящиеся к рассмотренной. Напр., можно начать рассмотрение натурального ряда не с 0, а с 1, и вообще с любого натурального числа к. Соответствующей формой М. и. будет:

P(k) & V), (п > h =э (Р (п) zd P («'))) =i V_m (m^hZDP (?»)).

Если в дополнение к тому, что доказаны предло­жения Р(к) и Vn(n>to(P(n)DP((i')), доказаны еще все предложения Р(0), P(i), ..., Р(к—1), то тем са­мым считается доказанными предложение V тР(т). Последнюю форму М. и. наз. часто усеченной М. и. с базисом к (или Р(к)). Ее частным слу­чаем при к=0 служит рассмотренная выше «основ­ная» форма М. и. Когда в качестве индукционного предположения берется Р (к), где к<^п, М. и. называют возвратной индукцией, или индукцией пробега. Символически ее можно выразить след. образом:

Vn (Vft (ft < п id P (ft)) => Р (п)) иэ VmP («!)• (II)

В формализованной арифметике форма (II) М. и. выводится из формы (I) (с помощью нек-рых др. аксиом арифметики). Отсутствие члена Р(0) в форму­лировке возвратной индукции объясняется тем, что этот член выводится из Vn(Vk(k<^nZDP(k))ZDP(n)). Дей­ствительно, освобождаясь, по правилам логики, от Vre и выбирая 0 в качестве значения п, получаем Vk(k<0ZDP(k))ZJP(0). Формулу Vk(k<0SjP(k)) выводим [при этом используется логич. закон^\AZD(AZ3B) («из противоречия следует все, что угодно»)] из формулы

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ 339

' ~|&<0 (где <Г|»—знак отрицания), к-рая доказывается с помощью М. и.

Возвратная индукция является разновидностью «принципа наименьшего числа», гласящего, что во всяком непустом классе натуральных чисел имеется наименьшее число; она слабее М. и., т. к. М. и. не мо­жет быть выведена из возвратной индукции (это мож­но усмотреть из того, что принцип наименьшего числа верен для порядковых чисел теории множеств, для к-рых верны также те аксиомы арифметики, с по­мощью к-рых возвратная индукция выводится из М. и.; однако принцип М. и. неверен для порядко­вых чисел).

Для возвратной индукции также существуют раз­новидности, аналогичные усеченной форме М. и. В одной из таких форм принцип М. и. впервые поя­вился в работе Паскаля «Об арифметич. треугольнике» (В. Pascal, Traite du triangle arithmetique, 1665).

По существу, доказательство всякого общего ут­верждения о натуральных числах основано на М. и., если только это утверждение не является следствием общелогич. законов [напр., \/т(щ=га)] или не требует для своего доказательства более сильных форм индук­ции. В частности, осн. свойства сложения и умноже­ния, выражаемые коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным законами, доказываются в совр. аксиоматич. арифметике посредством М. и.

К М. и. примыкают метод определения функций посредством т.н. (примитивной) р е к у р-с и и, состоящий в том, что значение определяемой функции для натурального числа п' выражается этим определением через ее значение для п и ранее опре­деленные функции. Под этот вид определений можно подвести и определения предикатов посред­ством рекурсии (ибо предикат можно рассматривать как функцию, принимающую два значения — «исти­на» и «ложь»). Имеются виды рекурсий и более общие, чем эти «примитивные».

К М. и. также примыкают т. н. индуктив­ные (или рекуррентные) определения [при­мером такого определения может служить опреде­ление формулы исчисления высказываний (см. Логика высказываний)], на к-рых основан спец. вид доказа­тельства, родственный М. и.,— т. н. индукция по построению формулы (подробнее см. Определение, Рекурсивные функции и предикаты).

М. и. играет серьезную роль в совр. исследованиях по логич. основаниям математики. Обычно при рас­смотрении формализованной системы арифметики схема М. и. является одним из постулатов. Помимо этого, схема М. и. неформально используется в мета-теоретич. рассуждениях (см. Метатеория).

Следует заметить, что коль скоро для записи М. и. не используются предикатные перемен­ные, постулат М. и. является не аксиомой, а с х е-м о й аксиом (I). В этой схеме содержится беско­нечный класс аксиом, соответствующих всевозмож­ным формулам Р(п). Польский математик Ч. Рылль-Нардзевский («Роль аксиомы математич. индукции в элементарной арифметике»— С. Ryll-Nardzewski, The role of the axiom of induction in elementary arithmetic, «Fundamenta Mathem.», 1952, t. 39) доказал, что схему аксиом (I) нельзя заменить никаким конечным числом аксиом, получающихся по этой схеме (именно, он показал, что такая замена непременно повлечет ослабление всей формальной арифметики).

В нек-рых системах формализованной арифметики схема аксдом (I) заменяется постулатами, по внеш­нему виду далекими от нее.

Арифметику иногда рассматривают как часть тео­рии множеств. В этом случае схема аксиом М. и. может быть доказана с помощью аксиом этой теории, а среди последних нет М. и.

М. и. является разновидностью индукции в том смысле, что обоснование общего предложения \/тР (т) посредством М. и. предполагает возможность доказа­тельства каждого из «частных случаев» Р(0), Р(1), Р(2),... Т. о., в основе М. и. лежит принцип бесконечной индукции по натуральному ряду. В математике встре­чается и др., отличные от М. и., виды индукции, посредством к-рых доказываются предложения вида УтР(т), где т — любое натуральное число; их обос­нование также использует бесконечную индукцию. Примером могут быть всевозможные виды индукции по «конструктивным трансфинитным числам». Послед­ний термин можно понимать как означающий всякий конструктивный способ полного упорядо­чения натурального ряда,не обязательно в порядке возрастания натуральных чисел. Формулировка каж­дого из этих видов индукции отличается от схемы (II) возвратной индукции лишь тем, что отношение «<» заменяется отношением порядка, соответству­ющего тому или иному способу полного упорядоче­ния натурального ряда. Хотя идея этого метода пр существу заимствована из теории множеств (в к-рой важную роль играет принцип «трансфинитной ин­дукции», доказываемый на основе ее аксиом), сама формулировка индукции по конструктивным транс-финитам может быть отнесена к арифметике.

В дедуктивных науках встречаются и др. виды индукций, родственные М. и., но относящиеся не к натуральному ряду, а к др. дискретным процессам (в к-рых может быть несколько «нулей» и «ведущих операций» типа ге' — не обязательно одноместных). Напр., дискретным процессом можно считать про­цесс развития аксиоматич. теории, состоящий в выве­дении все новых и новых следствий из ее аксиом. К этому процессу применим следующий принцип индукции («индукция по длине логич. вывода»): если все аксиомы теории (они играют роль «нулей») обла­дают свойством Р и, коль скоро посылки нек-рого применения к.-л. из имеющихся в данной теории пра­вил вывода («ведущей операции») обладают свойст­вом Р и заключение тоже обладает этим свойством, то каждая теорема этой теории обладает свойством Р. Обоснование этого принципа можно свести к М.и. Др. примеры — т. н. индукция по длине (логич.) формулы (длиной формулы наз. число входящих в нее логич. операции), к-рая может иметь, напр., вид следующей возвратной индукции: доказывается, что из принадлежности нек-рого свойства формуле (данного вида) длины п следует его принадлежность формуле длины ге', откуда следует его принадлеж­ность всем формулам (данного вида); само доказа­тельство при этом состоит в рассмотрении всех слу­чаев, соответствующих различным «ведущим опера­циям» (т. е. случаям, когда последней, ге-й опера­цией в формуле является конъюнкция, дизъюнкция и т. д., пока не будут рассмотрены все случаи, соот­ветствующие всем возможным в формулах данного вида операциям логики).

Отличие М. и. (равно как и других, только что упомянутых видов индукции в математике) от т. н. неполной индукции, характерной для эксперимен­тальных и описат. наук, состоит в том, что в дедуктив^ ных науках каждое применение индукции основы­вается на умозрит. доказательстве возможности дока­зательства каждого частного случая исследуемого общего предложения, в то время как в др. науках обоснование этих частных случаев носит опытный характер. Значение таких умозрит. доказательств для М. и. не следует переоценивать, т. к. они осно­ваны на ряде допущений о натуральном ряде, харак­терных для интуиционистской и тем более для классической арифметики (см. Интуиционизм). К их числу относится, в частности, допущение об однознач-

340МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ — МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

ной, с точностью до изоморфизма, определенности натурального ряда, ибо без этого допущения нельзя было бы утверждать, что в ряду доказываемых пред­ложений Р(0), Р(\), Р(2), ... [к-рый можно считать натуральным рядом, т. к. в нем есть 1-й элемент: Р(0), и за всяким элементом Р (п) ожидается наступ­ление Р (п')] имеется предложение Р (т) для всякого натурального числа то, и потому нельзя было бы применить бесконечную индукцию, а значит, и обос­новать М. и. Но само допущение об однозначности натурального ряда обосновывается посредством М. и. Тут налицо связь с антич. парадоксом «кучи»: одно зерно не образует кучи; если п зерен не могут образовать кучи, то и ге+1 зерно не может образовать кучи; следовательно, никакое число зерен не может образовать кучи, а потому куч не существует, что противоречит опыту. Т. о., идея М. и. была известна, фактически, уже в древности. Широко известный др. формы того же парадокса (напр., «лысый»). В матема­тике на протяжении ее истории парадоксы этого ви­да не возникали, и это связывается обычно с тем, что в ней не рассматриваются такие «расплывчатые», т. е. объемно-неопределенные, понятия, как «куча», и т. п. Не выяснено, однако, действительно ли ограничение круга наших понятий теми, к-рые встречаются в де­дуктивных науках, исключает возможность возникно­вения парадоксов этого типа; с др. стороны, даже та­кое привычное понятие, как «натуральный ряд чисел», связано с достаточно серьезными логич. трудностями. Изучение этого вопроса обнаружило, что он тесно связан с исследованием др. допущений, принятых в интуиционистской математике. В частности, в слу­чае отказа от однозначной определенности натураль­ного ряда и при одновременном изучении неск. неизоморфных натуральных рядов (или ди­скретных процессов, естественно сводящихся к таким рядам) невозможно безоговорочно пользоваться прин­ципом М. и. и поэтому приходится отказываться от принятия М. и. в качестве одного из постулатов (см. «Infinitistic methods. Proceedings of the Sym­posium on foundations of mathematics», Warsz., 1961, с 201—23).

Неоднократно предпринимались попытки ввести бо­лее общие (в к.-л. смысле) и более сильные, чем М. и., методы доказательства (и оиределения). Примером может служить т. н. индукция по континууму (число­вому или линейному): 1) если к.-л. действит. число х обладает свойством Р и 2) если для всякого числа у, обладающего свойством Р, найдется число г, большее у и обладающее свойством Р, то каждое действит. число, большее х, обладает свойством Р (аналогич­ная формулировка для линейного континуума полу­чается заменой слов «действит. число» на «точка пря­мой» и «больше» на «лежащая правее»). Аналогия такого метода доказательства обычной возвратной индукции очевидна. Однако роль таких «более общих» видов индукции неизмеримо скромнее роли М. и. для арифметики и трансфинитной индукции. В отличие от этих методов, исходящих из генетич. процесса построения натурального ряда (или класса трансфи­нитных чисел) в виде вполне упорядоченного мно­жества (см. Порядка отношение), индукция по конти­нууму не связана ни с каким эффективным способом «построения» континуума (причем перспектива эффек­тивного вполне-упорядочения континуума представ­ляется безнадежной).

Лит.: Марков А. А., Теория алгорифмов, Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, т. 42, М., 1954; Клин и С. К., Введение в метаматематику, М., 1957, гл. 2 (§ 7), 6, 8 (имеет­ся большая библиография); Логич. исследования. Сб. ст., М., 1959, с. 218—62; Н о в и к о в П. С, Элементы матем. ло-тики, М., 1959, гл. 5; С о м и н с к и й И. С., Метод М. и., 6 изд., М., 1961; Г е н к и н Л., О М. и., пер. с англ.. М., 1962; Н i 1 b с г t D. und В е г п а у s P., Grundlagen der Mathe-znalils., Bd 2, В., 1939.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА— логика, развив­шаяся в точную науку, применяющую математич. методы, или, согласно П. С. Порецкому, логика по предмету, математика по методам. Идея построения М. л. высказывалась впервые Лейбницем. Но лишь в 19 в. в соч. Буля «Математический анализ логики» (G. Boole, «The mathematical analysis of logic», 1847) была начата систематич. разработка этой науки. Дальнейшее развитие М. л. в значит, мере стимули­ровалось потребностями математики, ставившей ло­гич. проблемы, для решения к-рых старые средства классич. формальной логики были непригодны. Одной из этих проблем явилась проблема недоказуемости 5-го постулата Эвклида в геометрии. Эта проблема связана с аксиоматическим методом, являющимся наиболее распространенным способом логич. система­тизации математики. Он требует точной формули­ровки основных, принимаемых без доказательства положений развертываемой теории — т. н. ак­сиом, из к-рых все дальнейшее ее содержание логически выводится. Математич. теории, развивае­мые т. о., наз. аксиоматическими. Клас­сич. прототипом такого построения математич. тео­рии является эвклидово построение геометрии.

В связи со всякой аксиоматич. теорией естественно возникает ряд логич. проблем. В частности, возни­кает проблема логической независимо­сти аксиом данной теории, состоящая в установ­лении того, что ни одна из аксиом теории не может быть чисто логически выведена из остальных аксиом. Для эвклидовой геометрии в течение двух тысяче­летий оставался открытым вопрос о логич. неза­висимости 5-го постулата Эвклида. Было предпри­нято много тщетных попыток вывести его из осталь­ных аксиом эвклидовой геометрии, пока, наконец, в работах Н. И. Лобачевского не было впервые в яв­ной форме высказано убеждение в невозможности осуществить такой вывод. Это убеждение было под­креплено Лобачевским построением новой геометрии, в корне отличной от эвклидовой. В геометрии Лоба­чевского, тщательно разработанной ее творцом, не обнаруживалось противоречий; это вселяло уверен­ность в том, что противоречия и вообще не могут возникнуть, как бы далеко ни было продвинуто выве­дение следствий из аксиом новой геометрии. Впос­ледствии нем. математиком Ф. Клейном было доказа­но, что противоречия не могут воз­никнуть в геометрииЛобачевского, если они не могут возникнуть в эвклидовой геометрии (см. Метод аксиоматический). Так возникли и были частично решены исторически первые проблемы «недоказуе­мости» и непротиворечивости в аксиоматич. теориях.

Точная постановка таких проблем, их рассмотре­ние как проблем математических требуют уточнения понятия доказательства. Всякое математич. дока­зательство состоит в последовательном применении тех или иных логич. средств к исходным положе­ниям. Но логич. средства не представляют собой чего-то абсолютного, раз навсегда установленного. Они вырабатывались многовековой человеческой прак­тикой; «... практическая деятельность человека мил­лиарды раз должна была приводить сознание чело­века к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом» (Ленин В. И., Соч., т. 38, с. 181—82). Человече­ская практика является, однако, на каждом историч. этапе ограниченной, а объем ее все время растет. Логич. средства, удовлетворительно отражавшие че­ловеческое мышление на данном этапе или в данной области, могут ужо оказаться неподходящими на след. этапе или в др. области. Тогда в зависимости от изменения содержания рассматриваемого предмета

Поиск по сайту: