Философский материализм 8 страница

3. Отличительной особенностью М. является непре­ложность ее выводов. Логически допустимо наруше­ние законов физики, но невообразимо, чтобы, напр., дважды два не было четыре. Эта непреложность выво­дов М. объясняется не более как их логич. связью с принятыми посылками. Они логически необходимы лишь постольку, поскольку приняты посылки. «Дваж­ды два — четыре» следует из определения умножения. Следовательно, во-первых, указанная особенность М. вытекает из предыдущих, а во-вторых, она относи­тельна: вывод обязателен лишь постольку, поскольку приняты его основания.

4. Для М. характерно наличие ряда ступеней аб­стракции и образование новых понятий на базе уже сложившихся. Уже понятия о бесконечно продолжав-

330 МАТЕМАТИКА

мом ряде целых чисел, о любом вещественном числе суть результаты ряда абстракций; затем уже внутри самой М. возникли понятия комплексного и, далее, гиперкомплексного числа. Аналогично возникли по­нятия о неэвклидовых и многомерных пространствах и др. Для совр. М. вообще характерно сознат. введе­ние новых понятий на базе уже имеющихся. Эта черта М. естественно связана с ее основной,определяющей особенностью, потому что, во-первых, достаточно полное отвлечение тех или иных форм и отношений от содержания происходит не сразу, а через ряд абст­ракций, а во-вторых, придавая своим понятиям само­довлеющие значения, М. уже тем самым делает их основанием для образования новых понятий, для но­вых ступеней абстракции.

5. Особенностью М. является также универсаль­
ность ее применений. В любой области, где только уда­
ется поставить задачу математически, М. дает резуль­
тат с точностью, соответствующей точности поста­
новки задачи. Мы одинаково считаем любые предме­
ты, лишь бы они были строго разграничены. Одни и
те же уравнения могут описывать совершенно разные
по существу явления. Т. о., в абстрактности М. за­
ключается ее сила: чем больше отвлечение от содержа­
ния, тем шире возможности приложений. Но по той
же причине универсальность приложений М. не аб­
солютна, а относительна: правомерность ее приме­
нения в данной области, к данной задаче должна быть
обоснована анализом содержания.

6. М. занимает особое положение среди других наук,
т. к. исследуя формы и отношения, встречающиеся
в природе, обществе, а также в мышлении, она отвле­
кается от содержания и исключает из допускаемых
внутри нее аргументов наблюдение и эксперимент.
Поэтому ее нельзя причислить к естествознанию или
к общественным наукам.

Тем не менее М. зародилась из практики как естеств. наука и только в результате достаточно длит.накоп-ления знаний, выяснения понятий и связей между отд. результатами превратилась в «чистую» М., дальнейшее развитие к-рой, продолжая идти в тесной связи с есте­ствознанием, включало существенное расширение ее предмета, восхождение к более высоким ступеням абстракции. Так, если у Эвклида имеются в виду геометрич. объекты в их обычном наглядном, хотя и отвлеченном от материального содержания, смысле, то теперь в основаниях геометрии говорят о «любых объектах», лишь бы они удовлетворяли соответствую­щим аксиомам. Словом, отвлечение от содержания исследуемых М. форм и отношений шло постепенно и продолжается. Хотя определения математич. поня­тий все более уточняются, они не становятся абсолют­но точными; математич. точность и строгость выводов также развивается, и то,что считалось строгим прежде, уже не считается таким теперь.

В этом отношении хорошим примером может слу­жить арифметика. Предмет ее составляет система натуральных чисел 1, 2, 3,... с их отношениями: большего к меньшему, суммы к слагаемым и т. д. Отд. число само по себе не имеет свойств; если мы спрашиваем о свойствах, напр., числа 6, то замечаем, что 6=5+1, 6=2x3 и т.п., так что свойства данного числа состоят в его отношениях к др. числам. Отноше­ния же эти суть отвлеченные образы реальных коли­честв, отношений между совокупностями предме­тов. Каждое отд. число («два», «пять» и т. п.) есть свойство совокупности предметов — общее у сово­купностей, предметы к-рых можно сопоставить по одному, и различное у таких, для к-рых такое сопо­ставление невозможно. Наличие такого свойства уста­навливалось в процессе практич. счета предметов. Первоначально число определялось сравнением с к.-л. конкретным предметом (напр., «пять»—«рука»). Первая

ступень абстракции состояла в отвлечении от такого конкретного предмета, когда число выделилось как свойство совокупности; так, говорили: «три камня» и т. д. Следующая ступень абстракции состояла в том, что появилось понятие о числах самих по себе, без связи с к.-л. предметами; числа выступили как само­стоятельные идеальные объекты. (Ср. образование понятий о др. свойствах, напр.: «как уголь», «черный», «чернота»; здесь грамматич. форма существительного придает свойству характер самостоят, объекта.) Одновременно возникали действия над числами как абстрактное отображение реальных действий над со­вокупностями предметов; напр., умножение происхо­дит из счета совокупностями по два, по три и т. п. В процессе практич. счета люди открывали не только связи между отд. числами, но и общие законы, как, напр., то, что сумма не зависит от порядка слагаемых. Так формировалась система чисел. История ее фак-тич. возникновения служит прямым подтверждением правильности материалистич. понимания М. Материа­лизм признает как факт идеальный характер непо­средственного объекта арифметики, но, в противопо­ложность идеализму, признает также, что «...идеаль­ное есть не что иное, как материальное, пересажен­ное в человеческую голову и преобразованное в ней» (М арке К., Капитал, т. 1, 1955, с. 19). В становле­нии арифметики важную роль играло введение обо- . значений для чисел. Они позволили оперировать с числами, лежащими за пределами наглядного пред­ставления. Как понятие вообще выражается словом, так отвлеченное число — словом или знаком. Как «язык есть непосредственная действительность мыс­ли» (Маркс), так и математич. обозначения есть «непосредственная действительность» математич. аб­страктных понятий.

Следующая ступень абстракции состояла в образо­вании понятия о любом целом числе вообще, в от­влечении от практич. ограниченности счета и, следо­вательно, в осознании потенциальной возможности неогранич. продолжения числового ряда, закономер­ности к-рого, естественно, выводятся логически из понятия об этом ряде как бесконечной последователь­ности, образуемой с помощью единств, операции — прибавления единицы. Так, арифметика как искусство счета переросла в теоретич. арифметику, что знамено­вало возникновение чистой, дедуктивной М. Следую­щая ступень абстракции, ясно выявившаяся лишь в 19 в., состояла в формировании понятия о множест­ве всех целых чисел, к-рое мыслится как целое (как актуальная бесконечность, в отличие от п о-тенциальной бесконечности неограниченно продолжаемого ряда чисел; см. Абстракция актуаль­ной бесконечности, Абстракция потенциальной осу­ществимости). Такое понимание бесконечности на­турального ряда послужило естеств. основой для введе­ния существенно нового понятия трансфинитных порядковых чисел, на основе к-рого, в свою очередь, метод математич. индукции был дополнен новым ме­тодом доказательства и определения, т. н. трансфи-питной индукцией (см:. Математическая индукция). Далее были подвергнуты более глубокому анализу самое понятие о целом числе и логич. средства теоре­тич. арифметики.

Развитие М. История М. делится на ряд этапов. Формирование на основе повседневной практики простейших понятий арифметики и геометрии восхо­дит к очень ранним ступеням развития человеческого общества. Моментом зарождения собственно М.— превращения накопл. знаний в науку — следует счи­тать систематизацию этих знаний и формулировку законов и правил (в данном случае — правил реше­ния арифметич. задач и определения простейших •площадей и объемов; само слово «геометрия» означает

МАТЕМАТИКА 331

«землемерие»). Это произошло в 3—2-м тысячелетиях до н. э. в ряде стран: Египте, Вавилоне, Китае, Ин­дии. В то время математич. правила формулирова­лись на основе практики. Но постепенно наряду с накоплением математич. знаний, с установлением связей между получаемыми результатами и унифика­цией правил решения задач складывались теоретич. способы вывода новых результатов, складывались первые математич. доказательства. В конечном итоге это привело к качеств, скачку: сложилась «чистая» М. с ее дедуктивным методом. Конечно, этот «скачок» был достаточно длительным. Насколько известно, это произошло в 7 — 5 вв. до н. э. в Греции, куда матема­тич. знания перешли из Египта. Есть указания на то, что простейшие теоремы геометрии доказывались уже Фалесом. В 5 в. до п. э. появляется системами, изложение геометрии, тогда же Демокрит дал глу­бокие для своего времени выводы, содержавшие как бы первый зародыш интегрального исчисления. Открытие несоизмеримых отрезков и последовавшее за ним создание теории отношений несоизмеримых величин было большим достижением греч. М. Это логич. построение, явно выходившее за пределы эмпи­рически данного, очень четко обозначало окончат, оформление чистой М. (Следует различать знание ма­тематич. фактов от установления их логич. доказа­тельств. Так, составляющее содержание теоремы Пифагора соотношение между квадратами, построен­ными на сторонах прямоугольного треугольника, было Известно до Пифагора, но соответствующая теорема не была доказана.) Принципиальное значение для развития М. имело появление понятия о бесконечно­сти, к-рое играет в М. такую роль, что М. порой даже определяют как «науку о бесконечности». Помимо понятия о бесконечно продолжаемом ряде целых чисел и неограниченно продолжаемой прямой, возникло так­же представление о неогранич. делимости геометрич. фигур. Непрерывное, первоначально не подвергавшее­ся анализу, выступает как неограниченно делимое, содержащее неогранич. число частей, точек, моментов. [Дальнейшее развитие М. идет в следующих направ­лениях: 1) накопление новых результатов в рамках уже определившихся понятий; 2) расширение предме­та М., включение в него новых форм и отношений и, следовательно, формирование принципиально новых понятий; 3) изобретение новых методов решения задач и доказательства теорем; 4) восхождение к более вы­соким абстракциям и более широким обобщениям; 5) углубление осн. понятий. Соответственно, развитие М. не сводится к количеств, росту, но включает качеств, изменения, связанные с существенным расши­рением ее предмета и образованием новых понятий и теорий. При этом, однако, не происходит отказа от существующих теорий; они лишь углубляются и обобщаются. Так, геометрия Лобачевского не опро­вергает геометрию Эвклида, но обе теории включают­ся в нек-рую общую систему. В этом состоит одно из своеобразий развития М. Развитие М. идет как под влиянием др. наук и техники, так и «внутренним» путем.' Роль каждого из этих факторов различна в каждом конкретном случае. В конечном счете, решаю­щим является влияние др. наук и—гл. обр. через них— практики. Если последовательность развития опреде­ляется объективной логикой предмета М., то скорость его определяется обществ, условиями.] Первый этап развития «чистой» М. после ее оформления в 7 — 5 вв. до н. э.— это эпоха элементарной М. Она продолжается до 17 в. и делится, в свою очередь, на два существенно различных периода. Первый (период греч. М.) харак­теризуется глубоким развитием и господством гео­метрии, к-рую греки подвели вплотную к аналитич. геометрии и интегральному исчислению; второй — характеризуется преимуществ, развитием элемен-

тарной алгебры и формированием общего понятия (вещественного) числа (Индия, Ср. Азия, страны арабского Востока, Зап. Европы) и завершается, когда Декарт ввел совр. алгебраич. символику, так что алгебра обрела форму, наиболее адэкватную ее содержанию.

Следующий этап в развитии М. охватывает период с начала 17 в. до сер. 19 в. Его обычно определяют как эпоху переменных величин, тогда как элементар­ную М. определяют как науку о постоянных величи­нах и простейших геометрич. фигурах. Такое опреде­ление неточно. Скорее элементарную М. нужно определять как конструктивную М. В ней изучаются не только связи между постоянными, но и между переменными величинами, т. е. функции (за­висимость площади круга от радиуса, синус угла и т. п.), кривые линии и поверхности; используется, по суще­ству, понятие предела (напр., при определении длины окружности). Все это было в греч, М. Но при этом речь шла о конструктивно заданных фигурах и функ­циях, об определенном процессе приближения к пределу. Общие же понятия кривой, функции, предела в элементарной М. просто отсутствуют. У гре­ков кривая, не заданная определенным геометрич. построением, считалась «механической». Переворот, знаменовавший новую эпоху, состоял прежде всего именно в том, что в предмет М. были включены зависи­мости между переменными величинами вообще, появи­лось соответственно общее понятие функции и воз­ник аппарат исследования функций (дифференциаль­ное и интегральное исчисления, ряды), т. е. возникла теория функций — анализ бесконечно малых. Созда­ние анализа подготовлялось с нач. 17 в. в работах ряда ученых и было оформлено Ньютоном и Лейб­ницем. Это новое направление М. имело три источни­ка. Первый составляло изучение движения, зависи­мостей между переменными в природе (астрономич. законы Кеплера, законы падения, открытые Галилеем, и др.). Решающее влияние задач механики на развитие анализа видно из след. примера. Второй закон дина­мики в формулировке самого Ньютона утверждает, что изменение количества движения пропорционально силе; но это «изменение» есть производная по времени, так что закон приобретает точную форму, только если ввести понятие производной. Для определения же дви­жения по его «изменению» необходимо интегрирова­ние. Поэтому Ньютон, можно сказать, был вынужден изобрести анализ, чтобы дать общие методы формули­ровки законов и решения задач механики. Второй источник представляла геометрия с ее задачами вы­числения площадей и объемов и проведения касатель­ных. Третий — алгебра, дававшая удобную символику и формальный аппарат, приведший, напр.,к представ­лению функций в виде рядов. Метод координат свя­зал геометрию с алгеброй (Декарт, 1637), а затем и с анализом — кривые задаются функциями, функции изображаются кривыми. Этот синтез сыграл важную роль в становлении и развитии как анализа, так и гео­метрии. Предметом этой последней также становятся любые (достаточно «гладкие») кривые. После Ньютона и Лейбница получил чрезвычайно интенсивное раз­витие математич. анализ. Его идеи и методы про­никли в более старые области М- (геометрию, алгебру, теорию чисел), возникли новые его при­ложения и ответвления (теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, дифферен­циальная геометрия). Выяснение основ анализа (об­щее определение функции, теория пределов и др.) совпало с началом следующего периода в развитии М. Следующий этап длится с 1-й пол. 19 в. до сер. 20 в. и характеризуется тем, что в предмет М. включаются формы и отношения, не являющиеся уже пространст­венными и количественными в первоначальном смыс-

332 МАТЕМАТИКА

ле слова, причем нек-рые из этих форм и отношений определяются внутри самой М. Одновременно интен­сивно развиваются и подвергаются воздействию новых идей ранее определившиеся области М. В результате всего этого М. превращается из науки о количеств. и пространств, отношениях и формах, какой она была прежде, в науку о логически возможных чистых фор­мах только сходных, вообще говоря, с количественны­ми и пространственными. Этот переворот идет неск. путями. Появляется неэвклидова геометрия (Лоба­чевский, 1826; Я. Бойай, 1832), формируется понятие многомерного пространства, выделяются теории отд. свойств фигур (проективная геометрия, топология и др.). На место одной эвклидовой геометрии появляется бесконечное множество разных «геометрий» — теорий возможных, формально сходных с пространственными, форм и отношений. Из них важнейшие: риманова гео­метрия (Б. Риман, 1854) и топология. Полученная на пороге 19 в. геометрич. интерпретация введенных еще в 16 в. мнимых (точнее—комплексных) чисел сняла с них покров таинственности и дала толчок дальнейшему расширению понятия числа и величины (гиперкомплексные числа, векторы, тензоры и др.), а также созданию новой области анализа — теории функций комплексной переменной. Одновременно (начиная от Э. Галуа) складываются совершенно новые направления алгебры: теория групп и др. алгебраич. систем. Каждая такая система есть множество к.-л. элементов, между к-рыми имеются отношения, фор­мально сходные с отношениями между числами (меж­ду слагаемыми и суммой, сомножителями и произве­дением, отношение порядка «больше» — «меньше» и др.). Алгебра из учения о формальных действиях с числами и решении уравнений превратилась в науку о любых таких системах.

В этот же период идет бурное развитие сохраняющего свою центр, роль в М. математич. анализа, а также уточнение его осн. понятий: предела, функции пере­менной (т. е. произвольного вещественного числа). Ставшие общепринятыми к 1870 представления, что «числовая прямая» должна рассматриваться как мно­жество чисел, а любая геометрич. фигура как множе­ство точек, привели к созданию Кантором теории мно­жеств, в т. ч. специально теории точечных множеств, оказавшей громадное влияние на М. Во-первых, на почве теории точечных множеств были обобщены осн. понятия анализа (функция, производная, интег­рал и др.), вошедшие затем в аппарат теорий, непо­средственно связанных с приложениями (напр., тео­рии дифференц. уравнений), а также в геометрию, где теперь исследуются фигуры гораздо более общие, чем прежде. Во-вторых, теория множеств породила в М. общую теоретико-множественную т. зр., согласно к-рой всякий объект М. трактуется как множество каких-то элементов, в к-ром имеются те или иные от­ношения (между элементами, между элементами и под­множествами — частями этого множества, между под­множествами). Пространство определяется как мно­жество точек (тогда как, напр., Риман определял его как «протяженность»); область изменения перемен­ной — как множество ее допустимых значений; функ­ция может быть определена как множество упорядоч. пар (значение х и соответствующее значение у) и т. д. Это придало М. большую ясность и единообразие и облегчило точные определения вновь вводимых поня­тий. Вершиной рассматриваемого этапа в развитии М. явился функциональный анализ, возникший в начале 20 в. В нем соединились идеи и методы совр. ана­лиза, геометрии и алгебры. Он дал новую постанов­ку многим задачам теории функций, теории дифференц. и интегр. уравнений и вариационного исчисления, открыл новые сильные методы их решения и явился адэкватным аппаратом для квантовой механики.

Середина 20 в. является началом нового этапа в развитии М., к-рый опять-таки характеризуется су­щественным расширением ее предмета и развитием принципиально новых идей. Приобретают особую роль разделы, посвященные исследованию самих спо­собов и возможностей математич. вывода (математич. логика, теория алгоритмов). Эти математич. дисципли­ны оказывают существенное влияние на более старые области М.: ищутся схемы решений, к-рые можно осу­ществлять на машинах, оформилось целое конструк­тивное направление в М., изучающее проблемы алго-ритмич. решения задач, доказательства теорем и по­строения математич. теорий. Возникли новые дис­циплины: теория информации, теория автоматов, тео­рия игр (помимо игр в собственном смысле, эта теория рассматривает вопросы военной тактики, производств, и экономич. задачи, вопросы выбора системы экспе­риментов и др.; к ней примыкают также спец. методы планово-экономич. расчетов). Характерным является также усиление роли и расширение приложений тео­рии вероятностей (с к-рой связана теория информации и др. указанные новые дисциплины), зародившейся еще в 17 в. и развивавшейся с нарастающей интенсив­ностью, особенно по мере того как со 2-й пол. 19 в. стало все более выясняться значение статистических закономерностей (см. Вероятность). Все это связано с распространением применений М. на биологию, лин­гвистику, новые области техники, практич. задачи планирования произ-ва, обществ, науки и др. Можно сказать, что новый предмет М. составляют «сложные» системы, их структура и «поведение», т. е. переходы из одних состояний в другие (см. Кибернетика).

Основания М. Основание всякой науки лежит в действительности, к-рую она отражает. Однако М. имеет своим непосредств. предметом не сами объекты и явления действительности, а идеальные объекты, к-рые она рассматривает умозрительно, исключая из своих аргументов ссылку на опыт. Отсюда проистекает особая, характерная именно для М. постановка вопро­сов о ее основаниях. Задачу оснований М. составляет анализ ее осн. понятий, осн. посылок ее теорий и спо­собов доказательства. Сюда же примыкают вопросы об истинности математич. утверждений и существовании математич. объектов. Основания М. стали предметом исследования вместе с формированием чистой М. Гре­ки, приведя геометрию в логич. систему, выявили те осн. положения (аксиомы), к-рые могли быть поло­жены в ее основу. Теперь ясно, что система аксиом Эвклида была далеко не полной, но важен самый факт сознательного и уже довольно тонкого анализа осно­ваний геометрии. (Для арифметики подобный анализ явился делом уже 19 в., что естественно, т. к. понятие целого числа представляется более очевидным и более ясным, чем осн. понятия геометрии.) Греки же начали исследование возможной зависимости одних аксиом геометрии от других: они стремились вывести аксиому о параллельных из др. аксиом Эвклида. Двухтысяче-летняя история этих попыток завершилась построе­нием геометрии Лобачевского, в основе к-рой лежит отрицание этой аксиомы. Возникновение неэвклидовой геометрии и др. абстрактных теорий, знаменовавшее в 19 в. новый этап в развитии М., вместе с анализом основ более старых теорий привело к существенно более глубокому исследованию оснований М. На почве этих исследований оформилось следующее понимание аксиоматич. «обоснования» математич. теорий. Предмет любой данной теории составляет нек-рое множество объектов с нек-рыми отношениями между ними, при­чем природа объектов никак не определена. Свойства же отношений точно формулируются в соответств. аксиомах. В этом виде аксиоматика данной теории составляет определение ее предмета. Конкретным же предметом теории может служить любое множество

МАТЕМАТИКА 333

объектов с отношениями, для к-рых выполняются аксиомы, если входящие в них термины истолкованы соответств. образом (подробнее см. Метод аксиома­тический). Важнейшим из относящихся к любой аксио-матич. системе вопросов является вопрос о ее непро­тиворечивости (т. е. попросту осмысленности, т. к. противоречивая теория заведомо не может иметь никакого реального смысла). Она доказывается тем, что дается какая-нибудь интерпретация (модель) системы аксиом. Такая модель строится на основе к.-л. др. математич. теории, и тем самым вопрос сводится к не­противоречивости последней. Так, геометрия Лобачев­ского истолковывается в эвклидовой геометрии, а этой последней дают аналитич. интерпретацию, в к-рой точка плоскости определяется как пара чисел. Однако понятие (аксиоматика) вещественного числа также нуждается в выяснении непротиворечивости. В общем, метод интерпретаций не дает окончат, доказательства непротиворечивости никакой теории, а лишь сводит одну теорию к другой, так что вопрос о непротиворечи­вости математич. теорий не может быть решен на этом пути в рамках самой М. В конечном счете, убеждение в состоятельности таких теорий М., как, напр., арифме­тика, оказывается той же природы, что и убеждение в состоятельности теорий естествознания: оно основа­но на том, что в этих теориях при всем их долгом развитии не обнаруживаются противоречия, что эти теории имеют громадное поле приложений, что они отражают действительность.

Однако анализ оснований М. породил др. путь ре­шения той же проблемы, состоящий в исследовании самих логич. средств математич. доказательства, что составляет задачу математич. логики. Если мы отвле­каемся от какой бы то ни было интерпретации, то единственным критерием правильности теоремы оказы­вается то, что она строго доказана. Математич. объект (напр., решение к.-л. уравнения) считается сущест­вующим, если доказано его существование. Речь идет не об истине как соответствии утверждения действительности, не об объективном существовании, а о логич. доказуемости. Но что значит точное доказа­тельство? Противоречия, обнаружившиеся в нек-рых далеких выводах теории множеств, обострили этот вопрос, поскольку идеи этой теории пронизали все основания М. Убеждение в истинности М., основанное на ее гигантских достижениях, но могло снять указан­ного вопроса. Отказ от его решения означал бы под­рыв доверия к строгости дедуктивного метода М. Стре­мясь спасти положение, нем. математик Д. Гильберт поставил проблему оснований М. следующим образом. Математич. теория трактуется чисто формально (отсю­да название учения Гильберта — формализм), т. е. она строится на основе: перечня основных понятий; точного описания правил формулирования допустимых (считающихся осмысленными в этой теории) утвержде­ний и определений; формулировок исходных утверж­дений (аксиом); указания правил вывода одних утвер­ждений из других. Тогда утверждения теории можно записывать в подходящих символах и рассматривать правила формулирования и вывода просто как правила оперирования с этими символами. Теория превращает­ся в формальную схему, и вопрос о непротиворечиво­сти, о доказуемости в ее пределах той или иной теоре­мы сводится к исследованию этой схемы. Значение этой т. зр. состоит не только в том, что она очень четко ставит вопрос о математич. доказательстве, но и в том, что, превращая теорию в схему механич. выкладок, позволяет, хотя бы в принципе, передать осуществле­ние этих выкладок машине. В этой связи особое зна­чение приобретает теория алгоритмов (см. Алгоритм). Машина же есть объективный предмет и ее работа — объективный процесс, а не теория, так что здесь осно­вания М. опять приходят к объективной действитель-

ности, хотя и др. образом. (М. как совокупности таких формальных схем противопоставляется метаматема­тика как учение о самих этих схемах, но на самом деле формальная схема уже не есть наука, так что мета­математика и есть М.)

Однако очень скоро выяснилось, что указанный подход не решает проблемы: было доказано, что ника­кая формальная теория не может исчерпать даже ариф­метику; доказательство непротиворечивости формаль­ной теории не может быть получено в рамках самой этой теории. Всегда неизбежен переход от данной теории к более широкой и т. д. Напр., непротиворечи­вость обычной арифметики доказана с помощью т. н. конструктивных трансфинитных чисел. Но хотя такое доказательство удается провести средствами, убедительность к-рых весьма велика (логич. их база есть минимальная логика), относи­тельно них также может быть поставлен вопрос о непротиворечивости и т. д. (см. Метатеория). Т. о., дедуктивный метод М. был спасен не в том окончат, смысле, как надеялся Гильберт. Перед основаниями М. лежит путь бесконечного развития и уточнения, а окончат, основания М. так или иначе упираются в отношение ее к действительности.

Отношение М. к действительности ик другим нау­кам.Возникнув из прямого отражения природы, по­стоянно заимствуя из нее новые понятия, М. отделяет их от действительности, закрепляет их и идет дальше в значит, мере путем внутр. развития, путем логич. доказательства теорем, образования новых понятий, построения новых теорий. А эти теоремы, понятия, теории применяются потом к исследованию действи­тельности. По мере восхождения ко все более высоким абстракциям связь М. с практикой, с действитель­ностью становится все менее непосредственной и осу­ществляется через др. науки. Во-первых, она черпает в них новые задачи, новые понятия, источники новых теорий и импульсы к развитию. Напр., вся теория дифференц. уравнений возникла и развивается под ре­шающим влиянием механики и физики. Во-вторых, М. выступает по отношению к др. наукам как метод фор­мулировки количеств, закономерностей, как аппарат для построения и разработки теорий, как средство ре­шения задач. Влияние М. распространилось в наст, время не только на точные науки (механику, астро­номию, физику), но и на др. естеств. науки и нек-рые области обществ, наук. При этом М. служит не только средством исследования отд. вопросов (напр., мате­матич. статистика применялась в обществ, науках уже давно), но также влияет на формирование новых понятий и теорий. М. приобретает все большее эври-стич. значение, особенно в физике, где порой сначала пишутся уравнения, а потом выясняется их физич. смысл. Так было, напр., с квантовой механикой.

Значение М. состоит именно в том, что она оказы­вается методом, своего рода «идеальной техникой», создающей аппарат для др. наук. Это ясно видно из таких выражений, как, напр., «математический аппа­рат квантовой механики», или из отношения римановой геометрии к общей относительности теории, для к-рой она явилась готовым аппаратом. Понимание М. как идеальной техники не противоречит ее определе­нию как науки о «чистых» формах, поскольку дедук­тивное исследование логически возможных чистых форм и есть построение математич. аппарата.

Отделяя формы действительности от их содержания и придавая им характер самостоят, объектов, М. не просто копирует действительность, она упрощает и вместе с тем дополняет ее (напр., математич. кон­тинуум включает свойства, которыми не облада­ют реальные величины, т. к. они не имеют абсо­лютно точных значений). Это тем более верно в отношении логически возможных форм, определяв-

Поиск по сайту: