Философский материализм 9 страница

334 МАТЕМАТИКА

мых внутри самой М.: они создаются, а не копируют­ся, так же как далеко идущие логич. выводы из ис­ходных понятий могут вести и ведут к результатам, не имеющим прямого прообраза в природе (как, напр., теорема о существовании неизмеримых множеств). Невозможность прямой опытной проверки подобных выводов и самое исключение опыта из математич. аргументации влечет специфич. постановку вопроса об истинности таких выводов, об истинности матема­тич. теорий вообще. Теорема считается верной, если она доказана. Математич. теория верна (осмысленна), если она логически последовательна, непротиворечива. Но истина состоит в соответствии с действительностью, а логич. связь понятий и выводов — лишь ступень в ее познании. Чистая М. лишь постольку оказывается наукой, а не произвольным логич. построением, по­скольку она отражает действительность, но устанав­ливается это на высокой ступени абстракции не непосредственно, а через др. науки. Чистая М. ис­ходит из практики и возвращается к ней в виде при­кладной М. В этом постоянном взаимном переходе прикладной М. в чистую и обратно и состоит главная движущая сила развития М. Поэтому математич. тео­рия, будучи сама по себе (а тем более в ее форма льно-аксиоматич. понимании) только возможной схемой описания к.-л. сторон, явлений действительности, оказывается истинной или ложной только в прило­жении. А такое приложение не бывает абсолютно точ­ным и потому не устанавливает истинности теории во всем ее логически возможном развитии. Так, нек-рым результатам теоретико-множественной геометрии (не­зависимо от того, непротиворечива ли она) не удается приписать никакого реального смысла (напр., теоре­ма Хаусдорфа о существовании разбиения сферы на такое конечное число «неизмеримых» частей, из к-рых можно составить две сферы того же радиуса). -

Сказанное выражает коренное диалектич. проти­воречие в самой сущности М., являющееся специфи­ческим для нее проявлением того общего противоречия познания, что отображение мыслью всякого элемента действительности, выхватывая его из общей связи при­роды, упрощает, огрубляет и вместе с тем придает ему дополнит, свойства. Проявлением этого противоречия М. служит то, что в ее абстрактности и точности заключаются ее сила и ее ограниченность. Это же про­тиворечие обусловливает трудности оснований М.

Структура М. Совр. М. состоит из след. осн. разде­лов: 1) алгебры; 2) теории чисел, изучающей законо­мерности натурального ряда и др. числовых систем; 3) геометрии, из к-рой выделяется 4) топология,изу­чающая т. н. топологич. пространства, т.,е. прост­ранства, в к-рых определены понятия предела и не-прерыиности; 5) теории функций (одной и нескольких вещественных или комплексных переменных, функций множества, обобщенных функций); 6) теории диффе­ренциальных и интегральных уравнений; 7) функци­онального анализа [разделы 5), 6) и 7) часто объе­диняют под общим назв. математич. аиализа];8) вычи­слит, методов (примыкающих к алгебре и анализу); 9) теории вероятностей; 10) математич. логики и тео­рии алгоритмов. Чрезвычайно сложная структура М. весьма приблизительно описывается приведенной клас­сификацией, отнесение к.-л. конкретной математич. проблемы к одному из ее разделов часто бывает услов­ным. Так, на стыке 1) и 4) лежит т. н. топологич. ал­гебра, предмет к-рой — алгебраич. системы, являющи­еся в то же время топологич. пространствами (про­стейший пример — «числовая прямая»); геометрия переплетается с анализом и т. п. При др. классифика­ции можно выделить, напр., раздел «хМатематич. проблемы кибернетики», в к-рый попадают такие математич. дисциплины, как теория автоматов [из 1)], теория информации [из 9)1, теория игр и т. д. Наконец,

из 5) обособилась теория множеств, исследо­вания по к-рой вместе с проблемами математич. ло­гики (в т. ч. теории алгоритмов ) можно рассматривать в качестве содержания спец. математич. дисциплины — оснований математики.

М. и философия. М. всегда играла большую роль в философии и испытывала на себе ее влияние. Так, математич. понятия о бесконечности, о непрерывности с момента их появления служили предметом филос. анализа; с ними связаны апории Зенона Элейского, в 17 в.— рассуждения о бесконечно малых и пр. Борьба материализма и идеализма в М. идет через всю ее историю от Древней Греции, где против материализма Фалеса, Демокрита и других философов, заложшнпих основы М., выступил идеализм Пифагора, Платона и др. Идеализм находит в М. удобную почву из-за ее абстрактного, умозрит. характера. Уже в элементар­ной абстракции, как отметил Ленин, заключается возможность идеализма. Платон считал достойной внимания истинного философа только чисто теоретич. геометрию, исключая из нее даже исследование конич. сечений, поскольку для вычерчивания они «нуждают­ся в применении орудий пошлого ремесла». Положе­ние платонизма о самостоят, бытии идей несомненно связано по своему происхождению с отделением по­нятий М. от их конкретного основания. Позже М. сыграла решающую роль в формировании рациона­лизма, к-рый видел в ее умозрительном, строго логич. характере идеал познания. Кант в построении своей философии исходил прежде всего из вопроса о том, как возможна чистая М. Упуская из виду ее происхож­дение из опыта, а видя лишь обязательность ее выво­дов, он приписывал ей априорный характер. Представ­ление об априорности геометрии повлекло представ­ление о пространстве как об априорной форме восприя­тия и т. д. Т. о., кантианство в большой мере выросло из неправильного понимания М. Начиная от греков М. играла несомненную роль в развитии логики; особенно эта роль усилилась с сер. 19 в. в связи с исследованием основ М., анализом ее логич. средств, возникновением математич. логики, что оказало на самое логику громадное преобразующее влияние. На этой почве выросла философия т. н. логического пози­тивизма, подобно тому как «физический идеализм» вырос на почве революции в физике.

Особенности М. служили источником разнообразных идеалистич. течений в понимании ее сущности. Это прежде всего платонизм в М., приписывающий матема­тич. абстракциям самостоят, существование. Он более или менее осознанно сохраняется на всем протяжении истории М., но особенно ясно был выражен Кантором, к-рый приписывал бесконечным множествам, а вместе с ними всем понятиям М. некое объективное самостоя­тельное существование. Это илатоновско-канторовское воззрение может быть характеризовано как теоре­тико-множественный идеализм. Затруднения в обос­новании теории множеств вызвали против нее субъ-ективно-идеалистич. реакцию интуиционизма и ряд др. течений: логицизм, конвенционализм, эффекти-визм, формализм, причем интуиционизм и особенно формализм сыграли большую роль в выяснении ос­нований М.

Идеализму в М. всегда противостоял материализм. Крупнейшие математики, особенно те, чьи исследова­ния были тесно связаны с естествознанием, придержи­вались, как правило, хотя бы стихийно, материалистич. взглядов на свою науку. Диалектико-материалистпч. понимание сущности М. было дано Энгельсом в «Анти-Дюринге». Оно разрабатывается сов. математиками. Важны для понимания М. данные Лениным в его «Фи­лософских тетрадях» положения о сложности пути познания, о роли абстракции, о единстве и борьбе противоположностей в познании и др. Метафизич.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 335

материализм, «...основная беда коего есть неумение
применить диалектики к Bildertheorie (теории
отражения.— Ред.), к процессу и развитию позна­
ния» (Соч., т. 38, с. 360), не может верно понять
М. во всей сложности ее развития и отношения
к действительности. Он либо стремится придать
математич. абстракциям слишком непосредств.
объективный смысл и тогда смыкается с плато-
новско-канторовским идеализмом, либо доходит
до отрицания правомерности математич. абстракций,
т. е. до отрицания правомерности чистой М. В проти­
воположность всем оттенкам идеализма и метафизики
диалектический материализм рассматривает М. такой,
как она есть, во всем богатстве и сложности ее связей
и развития и поэтому ведет к верному ее понимание.
Лит.: Энгельс Ф., Анти-Дюринг, в кн.: Маркер,
и Энгельс» Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 36—9, 88--Э;
его же, Диалектика природы, там же, с. 500—01, 50д
572—87, Л е н и н В. И., Соч., 4 изд., т. 38, с. 105—Об,
200—02, 371; М., ее содержание, методы и значение, т. 1—з,
М., 1956; Александров А. Д., Геометрия, БСЭ, 2 изд.,
т. 10; Колмогоров А. Н., М., БСЭ, 2 изд., т. 26
(имеется библ.); М. в СССР за сорок лет. 1917 —1957
т. 1—2, М., 1959. А. Александров. Ленинград'

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ- общ_ее название разл. реализаций идеи бесконечности в математике. Хотя между значениями понятия М. б. и др. значениями, в к-рых употребляется термин «бес­конечность», нет жесткой границы (поскольку все эти понятия в конечном счете отражают весьма близкие свойства реального мира), математич. анализ понятая бесконечности следует отграничивать от филос. ана­лиза,—признавая диалектич. характер бесконечности, математика стремится выделить в качестве ее экспли-катов формально непротиворечивые понятия, пригод­ные для строгого дедуктивного (формальнологщ.) построения математич. и логико-математич. теорий.

Вокруг идеи М. б. уже в античности шли остръде дискуссии. Т. зр. Демокрита, рассматривавшего гео-метрич. прямую как состоящую из «неделимых» эле­ментов нулевой длины, оказалась подорванной откры­тием (5 в. до н. э.) несоизмеримости отрезков. В порядке преодоления создавшихся трудностей возникли теория пропорций Эвклида (прообраз позднейших теорий континуума) и т. н. метод исчерпания Архимеда, фактически заключавший в себе понятие предела. В основе этих идей лежал отказ от атомистич. пред­ставлений (в геометрии).

Проблемы М. б. вновь привлекли внимание в 17 в. в связи с открытием дифференциального и интеграль­ного исчисления и введением таких понятий, как «бес­конечно малая» и «бесконечно большая» величина, к-рые часто воспринимались как нечто таинственное и непостижимое. Лишь в 20-х гг. 19 в. франц. математиком О. Коши понятие бесконечно малой величины было, iro существу, изгнано из математики при помощи сведе­ния его к точному понятию предела «переменно!!» величины, хотя это сведение и опиралось на инту­итивные представления об изменении некоей «вели­чины» во времени, т. е. было связано с категорией, лежащей вне «чистой» математики.

Еще со времен антич. древности наметилось глубо­кое различие между двумя аспектами М. б.: д и с к р е _т-п ы м, отраженным в понятиях натурального ряда _и последовательности, и непрерывным, связанньш с рассмотрением свойств произвольных функций, Оп­ределенных на (числовом) континууме (см. Прерыв­ность и непрерывность). Но в 60—70-х гг. 19 в. поня­тие предела переменной величины было в принципе све­дено к понятию предела последовательности (функции натурального аргумента), а исследования основного для математич. анализа понятия действительного (ве­щественного) числа, проведенные нем. математиками К. Вейерштрассом, Р. Дедекиндом, Г. Кантором и франц. математиком Ш. Мере, привели к т. н. арифме-

тизации анализа: действительные числа определялись как множество рациональных чисел, причем в теориях Вейерштрасса и Мере—Кантора эти множества в явном виде фигурировали в качестве последователь­ностей. В рамках арифметизированного анализа приоб­ретали полную ясность все осознанные и неосознанные переходы к пределу, совершавшиеся в античной мате­матике от Евдокса до Архимеда, и разрешались (в известном смысле) зеноновские апории..

Это обоснование понятий и методов, связанных с М. б., было обязано принятию т. н. теоретико-множе­ственной установки, суть к-рой состоит в том, что» конкретные математич. теории рассматриваются как разл. спецификации теории множеств Кантора, к-рый разработал четкую иерархию кардинальных чисел (мощностей) и трансфинитных (бесконечных) порядко­вых чисел. Известный еще со времен Галилея факт, что бесконечное множество м:ожет быть эквивалентно» (равномощно; см. Взаимно-однозначное соответствие) своей правильной (т. е. не совпадающей с ним) части, воспринимавшийся как «парадокс бесконечного» (в нарушение «аксиомы» — целое больше части), теперь был положен в основу определения бесконечного множества (Дедекинд).

Вскоре, однако, выяснилось, что теоретико-мно-жеств. представления отнюдь не решили принципиаль­ных трудностей, относящихся к М. б., что было свя­зано с открытием парадоксов теории множеств. Есте­ственно было считать, что появление парадоксов связано прежде всего с приводящим к абстракции, актуальной бесконечности безоговорочным перенесе­нием на бесконечные множества законов традиц. логики, сформулированных и безусловно верных в применении к конечным множествам. В дальнейшем во взглядах на причины возникшего кризиса опреде­лились далеко идущие расхождения. В рамках типов теории (см. также Логицизм) Рассела и Уайтхеда мощности конечных множеств (следуя Фреге) вводились посредством спец. логич. формул (предикатов), а понятие М. б.— при помощи т. н. аксиомы бесконеч­ности. Однако уязвимость аксиомы бесконечности и особенно др. важного постулата системы Рассела — т. н. аксиомы сводимости, носящих характер практи­чески непроверяемых гипотез, обратила внимание подавляющего большинства математиков и философов к др. путям решения проблемы М. б.

Как отмечал глава формально-аксиоматич. направ­ления Д. Гильберт, никакое реальное наблюдение (или опыт) до сих пор не дало и принципиально не может дать к.-л. конкретного примера бесконечного множе­ства. Тем не менее понятие М. б. может оказаться пло­дотворным в качестве т. н. идеального понятия (поня­тия, не имеющего реальной, физич. интерпретации) — при условии, что присоединение такого понятия (и по­лучаемых с его помощью предложений) к теории не на­рушает ее непротиворечивости. Реализацией гильбер-товской программы (см. Метатеория) явились разл. системы аксиоматич. теории множеств (Э. Цермело, А. Френкеля, Дж. фон Неймана, Т. Сколема, П. Бер-найса, К. Гёделя, А. Жостовского и др.). Для построе­ния в рамках этих систем конкретного примера беско­нечного множества требуется спец. аксиома бесконеч­ности, утверждающая существование множества, экви­валентного своей правильной части (напр., натураль­ного ряда). В отличие от логицистич.трактовки аксиомы бесконечности, при аксиоматич. подходе ее формули­ровка не предполагает к.-л. постулатов о содержатель­ной бесконечности возможных физич. интерпретаций теории множеств.

Новейшее развитие математики и логики обнаружиг-ло, что представление об абсолютной, не зависящей от каких бы то ни было дополнит, понятий и допуще­ний, «природе» понятия М. б. оказывается неоправдан-

336МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА

ным. Так, казавшаяся очевидной равносильность (эквивалентность) используемого в аксиоматич. теории множеств определения бесконечного множества и пред­ставления о бесконечном множестве как «неконечном» связана, как выяснилось, с использованием т. н. ак­сиомы выбора. Это привело к имеющим важное филос. значение исследованиям о различных по силе определениях бесконечного множества (А. Тарский, А. Мостовский и др.). Относительность понятия М. б. раскрывается в рамках аксиоматич. подхода и в др. аспекте. Согласно теореме Лёвенхейма — Сколема (см. Предикатов исчисление), любая непротиворечивая аксиоматич. теория имеет интерпретацию (модель), причем такую, что ее элементами являются натураль­ные числа; отсюда следует, что описываемые в систе­мах аксиоматич. теории множеств «несчетные» мно­жества представимы средствами счетной модели. Этот «парадокс Сколема» демонстрирует относительность понятий счетности и несчетности (обусловливающую, в частности, возможность построения т. н. нестандарт­ных моделей арифметики и теории множеств, т. е. таких моделей, что построенный в них натуральный ряд — или класс трансфинитных чисел — оказывается неизоморфным соответствующему числовому классу теории, средствами к-рой строится модель; см. Изо­морфизм, Модель) и показывает беспочвенность расчетов на категоричность системы аксиом теории множеств (или даже арифметики), подрывая тем самым платонистские представления о существовании (безотносительном к нашему мышлению) таких «сущ­ностей», как натуральный ряд и др. бесконечных множеств, рассматриваемых в математике.

В уяснении методологич. проблем М. б. большую роль сыграли интуиционизм и конструктивное на­правление в математике. После критики Брауэром классич. математики стало ясно, что суть проблемы состоит в разл. обоснованности, с к-рой правила об­ращения с конечными множествами могут быть пере­несены (и действительно переносятся) на бесконечные множества, т. е. в понимании и использовании аб­стракций, связанных с М. б. Наиболее замечат. чер­той конструктивного направления (по отношению к проблеме М. б.) является последовательная реализа­ция (декларированных еще интуиционистами начала 20 в.) конструктивных принципов истолкования мате-матич. суждений (в частности, всеобщих и экзистен­циальных суждений) — принципов, не использую­щих абстракции актуальной бесконечности.

Существенно новый подход к проблеме М. б. возник в последние годы в связи с т. н. ультраинтуиционист­ской критикой оснований математики и возникшей на ее основе «генетической» программой обоснования теории множеств. Согласно ультраинтуиционистскому подходу, гипотеза потенциальной осуществимости (см. Абстракция потенциальной осуществимости) распадается на ряд содержательно неэквивалент­ных допущений об осуществимости. Неосуществи­мые средствами любой из этих частичных абстракций числа можно интерпретировать как бесконечные [та­кой подход к М. б., намечавшийся ранее Маннури, голл. математиком Д. ван Данцигом и др., в известной мере аналогичен представлениям, развиваемым Дж. фон Нейманом и А. Н. Колмогоровым в теории (конеч­ных) автоматов]. Дальнейшие построения ультраин­туиционизма связаны с анализом абстракции отож­дествления.

В ультраинтуиционистской концепции понятие М. б., с одной стороны, как таковое вообще не используется, а с другой—в терминах принятой ультраинтуициониз­мом «конечной установки» удается не только про­интерпретировать понятия теории (бесконечных) мно­жеств, но и показать непротиворечивость последней, а также найти подход к решению трудных теоретико-

множеств. проблем (контунуум-гипотеза, сущест­вование недостижимых трансфинитных чисел и др.). Интересно ультраинтуиционистское разрешение зе-ноновских апорий «Ахиллес», «Дихотомия» и др., со­стоящее в указании на неправомерность допущения об «окончании» бесконечного процесса посредством уста­новления изоморфизма между последовательностью реальных (пространственных и временных) промежут­ков и последовательностью их мысленных образов. Вообще соврем, подходы к проблеме М. б. часто пере­кликаются с античной проблематикой. Так, исходным пунктом ультраинтуиционистских рассмотрений мож­но считать явный учет реальных ситуаций, приводя­щих к парадоксам типа «Куча» Еебулида. Др. пример такого рода — «перевоплощение» атомизма Леекиппа — Демокрита, черты к-рого можно усмотреть в концепции континуума в конструктивном математич. анализе, со­гласно к-рой каждая конструктивная вещественная функция оказывается непрерывной («снятие» извечного противопоставления дискретного и непрерывного).

Т. о., для математики, всегда имеющей в виду понятие М. б., характерно стремление освободиться от его явного использования. Математику, часто называемую «наукой о бесконечности», с не меньшим основанием можно определить как науку о способах обходиться без понятия бесконечности. В этом, в частности, естественно усматривать ее диалектич. характер. См. также Математическая индукция, Алгоритм.

Лит. см. при статьях Конструктивное направление, Метод аксиоматический, Метатеория.

Ю. Гастев. Москва.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА— предположи­тельное изменение формы, вида, характера уравнения, выражающего закон изученной области явлений, с целью распространения его на новую, еще неизу­ченную область в качестве присущего ей закона. М. г. широко применяется в совр. теоретич. физике, но использовалась и в классич. физике.

Метод М. г. применяется там, где открывается со­вершенно новый тип явлений, закономерности к-рых не установлены, но обнаружено, что эти законы не могут быть адекватно выражены с помощью при­вычных образов и понятий, в то время как новых физич. понятий и образов еще нет и неясны пути их создания. Для изучения этой неисследованной области физик-теоретик выбирает одну из групп, явле­ний, примыкающих, по его мнению, вплотную к неис­следованной области, а именно ту группу, закономер­ности к-рой достаточно хорошо известны и выражены в нек-ром математич. уравнении. Далее он довольно произвольно, но руководствуясь нек-рыми общими правилами (см. ниже), изменяет это уравнение. При этом он еще но знает окончат, физич. смысла произ­водимых преобразований и вводимых новых членов, параметров. На этой стадии он даже еще и но ищет его в полном объеме, ограничиваясь своего рода эскизной прикидкой. Из преобразованного уравнения выводится ряд следствий, к-рые сопоставляются с дан­ными эксперимента. Согласие с ними служит осно­ванием для дальнейшей детальной разработки М. г.; противоречие — основанием для отказа от нее и на­чала новых аналогичных поисков на ином пути. В случае успеха начинается постепенная разработка конкретной физич. интерпретации полученных соот­ношений.

У М. г. много общего с обычной физич. гипотезой. Она так же, как и последняя, обладает большой предсказат. силой, перерастает при подтверждении опытом в систематически развитую теорию. Но есть и свои особенности: на переднем плане обычной гипотезы стоит выявление основных физич. черт материального объекта, к-рый исследуется, а в М. г. исходным и непосредственным является предположе-

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА337

ние об общем характере и особенностях новой физич. теории исследуемого объекта. В обычной гипотезе физич. характеристика объекта выражается сразу, и теория затем развивается на основе уже сформули­рованной, хотя бы в общих чертах, физич. интерпре­тации исходных понятий. В М. г. в первую очередь схватывается общий математически выраженный ко­стяк теории и лишь затем ищется физич. интерпре­тация частей, элементов этой теории и свойств объекта.

По своему конкретному воплощению, по своей фор­ме М. г. весьма многообразны. Но в этом многообра­зии можно выделить несколько осн. типов М. г. По характеру, способу модификации осн. уравнения или закона эти осн. типы таковы: 1) М. г., в к-рых изменяется общий тип, общий вид уравнений; 2) М. г., в к-рых тип, общий вид уравнений остается прежним, но в них подставляются величины иной природы, иного характера; 3) М. г., в к-рых меняется и общий вид уравнения, и тип входящих в него величин; 4) М. г., в к-рых изменяется характер граничных, или предельных, условий решения уравнений.

К первому типу М. г. относится, напр., гипотеза В. Гейзенберга, с помощью к-рой он пытается выра­зить фундаментальный закон совр. теории «элемен­тарных» частиц. Здесь исходное линейное квантово-механич. уравнение П. Дирака путем ряда трансфор­маций (вычеркивание члена, содержащего массу, введение нового параметра, выражающего величину «минимальной длины», прибавление нового члена, содержащего спинорную функцию в третьей степени) превращается в нелинейное, т. е. в уравнение прин­ципиально другого класса. К этому же типу М. г. относится и гениальное построение Максвеллом си­стемы уравнений электродинамики путем введения в совокупность известных до него уравнений электро­магнетизма принципиально нового члена, выражаю­щего величину т. н. тока смещения. Благодаря этому Максвелл и создал целостную, логически замкнутую безупречную теорию электродинамики.

Второй тип М. г. представлен, напр., фактом соз­дания Лоронцом классич. электронной теории, исхо­дившей из электродинамич. уравнений Максвелла. Лоренц, не меняя внешней формы максвелловских уравнений, вместо величин, с которыми оперирова­ла электродинамика Максвелла, не учитывавшая фак­та дискретности электрического заряда, ввел дру­гие по физич. смыслу величины — вместо усреднен­ных микроскоп и ч. полей, зарядов, токов их микроскопич. значения. Эти М. г. в известном смысле увенчали все здание классич. физики. М. г. второго типа сыграли выдающуюся роль и в создании квантовой механики. С помощью М. г. второго типа разрабатывалась т. н. матричная механика, явив­шаяся первым вариантом совр. квантовой механики. М. Борн, В. Гейзенберг, разрабатывавшие матрич­ную механику, исходили из мысли, что в атомных явлениях общий тип, общий вид канонич. уравнений классич. механики остается неизменным. Но в эти уравнения они ввели величины иной, неклассич. при­роды — не обычные числа, а матрицы, не обладаю­щие свойством коммутативности. Аналогичным путем шел Э. Шрёдингер, разрабатывая основы волновой механики. Он исходил из изв. в классич. физике т. н. волнового уравнения, руководствуясь идеей де Бройля о том, что каждой материальной частице соответствует нек-рый волновой процесс. Эта идея определила особенности того типа уравнения, к-рый должен был стать ядром М. г., имевшей целью выра­зить закон движения микрообъектов. Фактически не меняя общего вида классич. волнового уравнения, Шрёдингер изменил смысл входящих в него членов, используя введенное де Бройлем неизвестное классич. физике соотношение между длиной волны волнового

процесса и импульсом частицы. Так получилось фун­даментальное уравнение Шрёдингера для случая ста­ционарных состояний атома, легшее в основу совр. квантовой механики. Интерпретация физич. смысла вошедшей в него «волновой функции» разрабатыва­лась затем на протяжении длит, времени. На основа­нии М. г. второго типа создавалась и совр. квантовая электродинамика, взявшая в качестве исходных неиз­менные по форме уравнения Максвелла. Входящие в них физич. величины были заменены другими — подчиняющимися особым квантовым законам.

Третий тип М. г. соединяет особенности гипотез первого и второго типов. К нему относится М. г., на основе к-рой де Бройль, Вижье, Бом и др. стре­мятся разработать свой вариант теории «элемен­тарных» частиц. Они меняют исходные квантовые уравнения, стараясь учесть идеи общей теории отно­сительности. В результате получается трансформи­рованное квантовое уравнение, в к-ром радикально изменен и смысл входящей в него волновой функции.

С четвертым типом М. г. особенно часто имеют де­ло в общей теории относительности и в проблемах космологии, где центр тяжести нередко переносит­ся как раз на исследование граничных, предельных условий.

Разделение М. г. на различные типы не имеет жесткого, абс. характера. Так, с изменением типа уравнения в какой-то мере могут измениться тип и смысл входящих в него величин. И чем сильнее трансформируется вид уравнения, тем существеннее может быть изменение характера входящих в него величин. Т. о., между М. г. первого и третьего типов нет резкой границы. Но при всем том их нельзя и смешивать друг с другом. Изменение смысла, содер­жания входящих в уравнение величин в М. г. первого типа производно. Оно выступает как следствие гл. операции, характерной именно для гипотезы пер­вого типа — трансформации вида уравнения. В гипо­тезе же третьего типа и трансформация уравнения, и изменения типа входящих в него величин с самого начала производятся совместно, на равных основа­ниях, независимо друг от друга.

Модификация типа, природы входящих в уравне­ние величин может произойти и при изменении гра­ничных условий. Тем самым перекидывается нек-рый мостик и между М. г. второго и четвертого типов.

Приступая к поискам закономерностей еще не изве­стной области явлений, физик обладает большой сво­бодой в выборе конкретного варианта М. г. Однако полного произвола и полной свободы здесь не может быть. Это — свобода в выборе путей подхода к объек­тивной истине.

Объективное содержание М. г., выражающей ис­тину, оказывается совершенно не зависящим от про­извола исследователя. Хотя физик может выбирать среди ряда вариантов построения М. г., конечный итог его работы по созданию гипотезы, общий резуль­тат не произволен, а определен объективной приро­дой исследуемого круга явлений. К этому общему итогу, выражающему истину, можно прийти путем различных конкретных вариантов М. г. Существуют регулятивные принципы, управляющие процессом создания М. г., своего рода «правила отбора» М. г., действующие в ходе разработки этих гипотез еще до того, как последние в прямой форме начинают сопоставляться с опытными данными, относящимися к новой области природы. Эти «правила отбора» — не умозрительные, априорные требования, а поло­жения, в обобщенном виде выражающие нек-рые существ, моменты подтвержденного опытом познания. В теоретич. физике широко используются след. регу­лятивные принципы, управляющие процессом раз­работки М. г.:

338 МАТЕМАТИЧЕСКАЯГИПОТЕЗА — МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

1. Принцип соответствия. Уравнение, выражающее закон вновь открытой области явлений, строится так, чтобы в предельном случае, при к-ром была верна старая теория, новый закон асимптотически пере­ходил в прежний.

Поиск по сайту: