Нормальное распределение

Большинство результатов хозяйственной деятельности (прибыль, доход) как случайные величины подчиняются закону, близкому к нормальному. Этот закон характерен для распределения событий в случае, когда их исход представляет собой результат совместного воздействия большого количества независимых факторов, и ни один из этих факторов не оказывает преобладающего влияния. Нормальное распределение является основным элементом большинства систем управления риском.

На практике для проверки предположения о нормальном распределении исследуемой совокупности случайных факторов применяются различные критерии согласия, устанавливающие соответствие между эмпирическим (опытным) и теоретическим (нормальным) распределением, и которые для задаваемой надежности (вероятности) позволяют принять или отвергнуть принятую гипотезу о нормальном законе распределения.

Нормальное распределение (распределение Гаусса) представляет собой вид распределения случайных величин, с достаточной точностью описывающий распределение плотности вероятности результатов производственно-хозяйственной, финансовой, инновационной деятельности или изменений условий внешней среды, поскольку показатели, характеризующие их, определяются большим числом независимых случайных величин, каждая из которых в отдельности относительно других играет незначительную роль и непредсказуема. Применение нормального распределения для оценки рисков также связано с тем, что в основе данных, как правило, используется ряд дискретных значений. Эти теоретические предпосылки, а также апробация моделей для анализа рисков на основе нормального распределения доказывают адекватность этого теоретического инструмента реальным процессам экономической деятельности.

Плотность вероятности нормального распределения имеет вид:

, (3.6)

где = а - математическое ожидание,

σ - среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Попадание случайной величины X в заданный интервал (α; β) определяется как

, (3.7)

где - интеграл вероятностей или функция Лапласа, ее значения в зависимости от параметра Х приводятся в специальных таблицах, эта функция четная и она изменяется от 0 до 0,5.

Если предположить, что ожидаемое значение результата (прибыль, потери и т.д.) должны принадлежать интервалу (α; β) длиной ∆ = β - α, то вероятность того, что достигаемый результат будет находиться в указанном интервале, определяется из формулы (3.7) и пусть равна Р₁. На графике рисунка 3.1 заштрихованная площадь численно равна Р₁. Тогда вероятность попадания рассматриваемого результата за пределы допустимых границ, исходя из того, что вся площадь под кривой нормального распределения равна единице, будет равна Р₂ = 1 – Р₁.

Рисунок 3.1 – Нормальная кривая

Вероятность Р₂ оценивает неопределенность результата и отдельные авторы считают непосредственным измерителем риска величину Р₂. Однако лишь в относительно простых случаях для оценки степени риска можно использовать величину вероятности получения отрицательного результата (Р₂), так как при этом не затрагиваются существенные факторы понятия риска, отсутствует сравнение возможных выигрышных исходов и обстоятельств, способствующих им, с возможными потерями в случае неудачи.

Средняя арифметическая = а определяет центр распределения и ее размерность та же, что и размерность случайной величины X. На рисунке 3.2 показано, как разница в значениях средней арифметической влияет на положение графика.

Рисунок 3.2 – Изменения в значении средней арифметической

Среднее квадратическое отклонение σ определяет разброс центра распределения, и размерность σ совпадает с размерностью случайной величины X. Параметр σ характеризует не положение, а саму форму кривой распределения, т.е. это характеристика рассеивания. Наибольшая ордината кривой распределения обратно пропорциональна σ, при увеличении σ максимальная ордината уменьшается. Так как площадь кривой распределения всегда должна оставаться равной единице, то при увеличении σ кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; напротив, при уменьшении σ кривая распределения вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков, и становится более иглообразной. На рисунке 3.3 показаны три нормальные кривые (I, II, III) при а = 0; из них кривая I соответствует самому большому, а кривая III - самому малому значению σ. Изменение параметра σ равносильно изменению масштаба кривой распределения - увеличению масштаба по одной оси и такому же уменьшению по другой.

Рисунок 3.3 - Изменения в значении среднего квадратического отклонения

В практике общеупотребительной характеристикой рассеивания служит не среднее квадратическое отклонение σ, а другая величина, называемая вероятным отклонением («срединным отклонением» или «срединной ошибкой»).

Вероятным отклонением называется половина длины участка, симметричного относительно центра рассеивания, вероятность попадания в который равна половине.

Геометрически вероятное отклонение Е есть половина длины участка оси абсцисс, симметричного относительно центра рассеивания, на который опирается половина площади кривой распределения (рисунок 3.4).

Рисунок 3.4 – Геометрическое изображение вероятного отклонения

Вероятность того, что величина X отклонится от центра рассеяния а меньше чем на Е, по определению вероятного отклонения Е, равна

. (3.8)

Вероятность того, что это отклонение будет больше Е, также равна

. (3.9)

Таким образом, при большом числе опытов в среднем половина значений случайной величины X будет отклоняться от а больше чем на Е, а половина - меньше, отсюда и термин «срединное отклонение».

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от среднего значения а по абсолютной величине не превысит положительного числа ε = σt, определяется соотношением

. (3.10)

Вероятное отклонение как характеристика рассеивания должно находиться в прямой зависимости от среднего квадратического отклонения σ. Для установления этой зависимости вычислим вероятность события в уравнении (3.8) по формуле (3.10)

. (3.11)

Формулы (3.7), (3.10) и (3.11) применяются на практике для попадания случайной величины X в заданный интервал.

Пример 3.4. Вычислить вероятности попадания случайной величины X, подчиненной нормальному закону, на последовательные участки длиной Е, отложенные от центра рассеивания.

По определению вероятного отклонения, вероятность попадания на участок длины Е, примыкающий к центру рассеивания, равно 0,25. Так как плотность вероятности по мере удаления от центра рассеивания убывает, то, откладывая от центра последовательные участки длиной Е, будем получать все меньшую и меньшую вероятность попадания (рисунок 3.5). Вычислим вероятность попадания случайной величины на эти участки по формуле (3.11) с точностью до 0,01:

Р(а < X < а + Е) = 0,25;

Р(а + Е < Х < а + 2Е) = 0,16;

Р(а + 2Е < X < а + 3Е) = 0,07;

Р(а + 3Е < Х < а + 4Е) = 0,02.

Рисунок 3.5 – Вероятности попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на последовательные участки длиной Е от центра рассеивания

Складывая эти четыре числа, получаем 0,5. Из этого заключаем, что если пренебречь вероятностями менее 0,01, можно считать практически достоверным, что случайная величина, подчиненная нормальному закону, отклоняется от центра рассеивания не более чем на четыре вероятных отклонения. Строго говоря, такие отклонения все же возможны и встречаются примерно в 0,5% всех случаев (в ту и другую сторону).

Кривая рисков

В процессе принятия управленческих решений предпринимателю целесообразно различать и выделять определенные области (зоны риска) в зависимости от уровня возможных (ожидаемых) потерь. Для этого разработаны и используются так называемые шкалы риска, позволяющие классифицировать поведение лиц, идущих на риск. В таблице 3.3 приведена эмпирическая шкала риска, которую рекомендуют применять предпринимателям при использовании ими в качестве количественной оценки риска вероятность наступления рискового события.

Таблица 3.3 - Эмпирическая шкала допустимого уровня риска

Используя соотношение (3.10) и выбирая вероятности из таблицы 3.3, по таблицам функции Лапласа Ф(t) находим соответствующие значения параметра t (таблица 3.4).

Таблица 3.4 - Таблица значений вероятностей и параметра t

Наносим значения ε = σt на график нормальной кривой влево и вправо от = а и строим зоны риска (не нарушая общности, значения ε откладываются только вправо) (рисунок 3.6).

Рисунок 3.6 – Зоны риска для кривой нормального распределения вероятностей

Кривую, представленную на рисунке 3.6, называют кривой риска. На ней выделены следующие характерные точки и зоны.

Первая точка определяет вероятность нулевых потерь, ее можно считать максимальной, но, конечно, меньше единицы.

Вторая точка вероятности нежелательного исхода соответствует «нормальному», «разумному» риску, при котором рекомендуется принимать обычные предпринимательские решения. Зона приемлемого (минимального) риска характеризуется уровнем потерь, не превышающим размера чистой прибыли.

Третья точка характеризуется величиной возможных потерь, равной ожидаемой прибыли, т.е. полной потери прибыли. Зона допустимого (повышенного) риска характеризуется уровнем потерь, не превышающим размеры расчетной прибыли. Осторожные предприниматели стараются действовать так, чтобы возможная величина потерь не выходила за пределы допустимого риска.

Четвертая точка соответствует величине потерь, равных расчетной выручке. Зона критического риска характеризуется тем, что в границах этой зоны возможны потери расчетной прибыли, т.е. есть опасность потерять и средства, вложенные предпринимателем в операцию.

Пятая точка характеризуется потерями, равными имущественному состоянию предпринимателя. Зона катастрофического (недопустимого) риска характеризуется тем, что в границах этой зоны ожидаемые потери способны превзойти размер ожидаемых доходов от операций и достичь величины, равной всему имущественному состоянию предпринимателя (фирмы).

Принятие решений с большим уровнем риска зависит от склонности ЛПР. Однако, принятие таких решений возможно только в случае, если наступление нежелательного исхода не приведет предпринимателя к банкротству.

Рассмотренным точкам риска соответствуют следующие значения вероятностей:

P₁ ≤ 0,1; Р₂ = 0,25; Р₃ = 0,4; Р₄ = 0,75; Р₅ > 0,75.

Вероятности определенных уровней потерь являются важными показателями, позволяющими высказывать суждение об ожидаемом риске и его приемлемости. Так, если вероятность катастрофической потери выражается показателем, свидетельствующим об ощутимой угрозе потери всего состояния, то осторожный предприниматель заведомо откажется от такого дела и не пойдет на подобный риск.

Знание предельных значений вероятностей возникновения допустимого P_D, критического Р_кр и катастрофического Р_кат рисков позволяет сформулировать общие условия приемлемости анализируемого вида предпринимательства:

• показатель допустимого риска не должен превышать предельного значения, т.е. Р₃ < P_D;

• показатель критического риска должен быть меньше предельной величины, т.е. Р₄ < Р_кр;

• показатель катастрофического риска не должен быть выше предельного уровня, т.е. Р₅ < Р_кат.

Поиск по сайту: