Оптимальность по Парето

Анализ решений при многих критериях в значительной степени сводится к организации в той или иной форме взаимодействия с ЛПР, которое только и может разрешить проблему соизмерения различных критериев. Тем не менее, существует довольно ограниченная область, в которой применение сугубо формального анализа без обращения к ЛПР оказывается весьма полезным. Речь идет о выделении так называемого множества эффективных, или оптимальных по Парето, альтернатив.

Альтернатива, не являющаяся эффективной, ни при каких условиях не может рассматриваться в качестве решения задачи, т.к. для неэффективной альтернативы существует другая, превосходящая ее по всем критериям. Отсюда вытекает важнейший критерий рациональности процесса разработки решения: выбираемый вариант должен быть эффективным.

Эффективная альтернатива – это альтернатива, для которой не существует другой допустимой, не уступающей ей по всем критериям и хотя бы по одному критерию превосходящей ее.

Главное в процессе нахождения эффективного решения состоит в том, что после того, как сформулированы критерии, задача отыскания множества эффективных решений на заданном множестве альтернатив является, хоть и сложной, но вполне формальной задачей, не требующей для своего решая обращения к ЛПР. Во многих случаях множество эффективных альтернатив можно отыскать, решая задачу с интегральным критерием оптимальности, представляющим собой сумму отдельных, частных критериев с переменными весами. При этом не имеет значения, какие веса брать для начала процесса. Все равно перебираются с каким-то заданным шагом все возможные комбинации на отрезке от 0 до 1. После того, как выделено множество эффективных альтернатив, ЛПР может выбрать одну из них, но строить из них комбинации, даже в тех случаях, когда такая комбинированная альтернатива имеет смысл, нельзя. Она может оказаться неэффективной и не может рассматриваться в качестве решения задачи.

Многокритериальные задачи фактически отличаются друг от друга формой вопросов, задаваемых ЛПР. Очень часто пытаются сформулировать эти вопросы таким образом, чтобы ЛПР указало относительные веса (коэффициенты важности или значимости) отдельных критериев, а затем строят так называемую свертку критериев, т.е. за интегральный показатель качества альтернативы принимают сумму отдельных критериев с коэффициентами важности.

Такая методика используется настолько часто, что иногда начинает восприниматься как единственно возможная. К ее достоинствам, помимо простоты, следует отнести то, что получаемая при таком подходе альтернатива заведомо будет эффективной. Однако применение этой схемы основано на дополнительных предположениях, которые не всегда оправданы. С математической точки зрения такая сумма частных критериев с коэффициентами важности есть аддитивная функция ценности. Для того, чтобы такая логическая конструкция правильно отражала систему предпочтений ЛПР, необходимо (на этот счет доказаны соответствующие теоремы), чтобы используемые для оценки альтернатив критерии обладали свойством взаимной независимости по предпочтению.

Пример 3.11.Рассматривается матрица платежеспособного спроса А и ее матрица рисков R.

, .

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности Р_j того, что реальная ситуация развивается по варианту j. Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Тогда решение можно принимать, в частности, по правилу максимизации среднего ожидаемого дохода.

Прибыль, получаемая компанией при реализации i-го решения, является случайной величиной А_i с рядом распределения:

Математическое ожидание М(А_i) есть средняя ожидаемая прибыль, обозначаемая также . Правило рекомендует принять решение, приносящее максимальную среднюю ожидаемую прибыль.

Предположим, что в рассматриваемом примере вероятности равны: . Тогда

= 49300 ∙ + 197200 ∙ + 197200 ∙ + 197200 ∙ = 172550,

= -60 ∙ + 148900 ∙ + 297800 ∙ + 297800 ∙ = 210931,7,

= -1140 ∙ + 98400 ∙ + 196800 ∙ + 393600 ∙ = 204810.

Максимальная средняя ожидаемая прибыль равна = 210931,7 и соответствует второй стратегии компании.

Далее рассмотрим выбор решения по правилу минимизации среднего ожидаемого риска. Риск компании при реализации i-го решения является случайной величиной R_i с рядом распределения:

Математическое ожидание М(R_i) есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также . Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск.

Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше вероятностях для матрицы рисков R. Получаем:

= 0 ∙ + 0 ∙ + 100600 ∙ + 196400 ∙ = 90616,7,

= 49360 ∙ + 48300 ∙ + 0 ∙ + 95800 ∙ = 52235,

= 50440 ∙ + 98800 ∙ + 101000 ∙ + 0 ∙ = 58356,7.

Минимальный средний ожидаемый риск равен = 52235 и соответствует второй стратегии компании.

Таким образом, в рассмотренном примере была получена оптимизационная двухкритериальная задача по выбору наилучшего решения, так как каждое решение имеет две характеристики - среднюю ожидаемую прибыль и средний ожидаемый риск.

Существует несколько способов постановки таких оптимизационных задач. Рассмотрим один из них в общем виде.

Пусть О - некоторое множество операций. Каждая операция «о» имеет две числовые характеристики А (о) и R (о) (например, эффективность и риск) и разные операции обязательно различаются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции, желательно, чтобы А было больше, a R меньше.

Будем говорить, что операция а доминирует операцию в, и обозначать а>в, если А(а) ≥ А(в) и R(a) ≤ R(в) и хотя бы одно из этих неравенств строгое. При этом операция а называется доминирующей, а операция в - доминируемой. Ни при каком разумном выборе наилучшей операции доминируемая операция не может быть признана таковой. Следовательно, наилучшую операцию надо искать среди недоминируемых операций Множество этих операций называется множеством Парето или множеством оптимальности по Парето.

На множестве Парето каждая из характеристик А, R - однозначная функция другой, т.е. по характеристике А можно определить характеристику R и наоборот.

Применительно к матричным играм распределение называется Парето - оптимальным, если положение ни одного из игроков нельзя улучшить, не ухудшая при этом положение его партнера.

Каждое решение ( , ) рассматриваемого примера отметим как точку на плоскости (рисунок 3.10), в результате получили три точки.

Рисунок 3.10 - Множество операций

Чем выше точка ( , ) ,тем более доходная операция, чем точка правее, тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. В данном примере множество Парето состоит только из одной второй операции.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую функцию, которая для операции А с характеристиками ( , ) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Пусть взвешивающая функция имеет вид: f(А) = 2 - . Тогда имеем:

f(А₁) = 2 ∙ 172550 - 90616,7 = 254483,3,

f(А₂) = 2 ∙ 210931,7 - 52235 = 369628,4,

f(А₃) = 2 ∙ 204810 - 58356,7 = 351263,3.

Отсюда видно, что стратегия А₂ - лучшая.

Взвешивающая формула выражает отношение лица, принимающего решение, к доходу и риску. Если ЛПР применяет только что рассмотренную формулу, то он согласен на увеличение риска операции на две единицы, если доход операции при этом увеличивается не менее чем на одну единицу. Следует отметить, что эта формула может передать отношение ЛПР к доходу и риску лишь приблизительно.

Приведем один из способов выделения множества Парето вариантов при решении многокритериальных задач.

Пусть проектируемая система зависит от r варьируемых параметров α₁, ..., α_r, для каждого из которых есть определенная область допустимых значений. Кроме этих ограничений обычно есть еще ограничения, возникающие из-за связей параметров между собой. В целом, есть некоторая область, в которой только и могут находиться допустимые значения параметров. В этой области выбирают N штук пробных точек:

, (3.16)

которые, как правило, целесообразно располагать в ней равномерно. Оценивание каждого варианта производится по критериям Ф₁, ..., Ф_k, которые для простоты все надо минимизировать. Результаты, оценивая по каждому критерию, упорядочивают по возрастанию:

, (3.17)

где i₁, i₂, ..., i_N - последовательность номеров точек (своя для каждого критерия), j = .

Пусть есть два критерия Ф₁, Ф₂ и четыре точки α¹, …, α⁴ (каждая точка имеет r компонентов). Допустим

Ф₁(α¹) ≤ Ф₁(а³) ≤ Ф₁(а²) ≤ Ф₁(а⁴),

Ф₂(а²) ≤ Ф₂(а¹) ≤ Ф₂(а⁴) ≤ Ф₂(а³).

Результаты испытаний и упорядочивания представлены в таблице 3.8.

Таблица 3.8 - Значения критериев в пробных точках

Затем проектировщик или заказчик называет критериальные ограничения , ..., , то есть худшие значения по каждому из критериев, на которые еще можно согласиться . Критериальные ограничения не являются абсолютными, они зависят от физического или экономического смысла критериев, конъюнктурных соображений и т.д. Если эти ограничения слишком жесткие, то может оказаться, что вообще нет ни одного приемлемого варианта. В этом случае придется идти на какие-то уступки, компромиссы, брать менее обременительные критериальные ограничения.

Пусть в приведенном примере и таковы, что в выбранные ограничения укладываются: по первому критерию точки 1, 2, 3, по второму - 1, 2. В данном случае паретовское множество вариантов состоит из точек 1 и 2. Аналогично действуют и в общем случае, когда размерность задачи больше, чем в примере.

Анализ результатов, оценивание вариантов в пробных точках позволяют:

• обнаружить критерии, значения которых мало меняются;

• выявить зависимые или противоречивые критерии;

• определить взаимосвязь критериев друг с другом;

• установить влияние параметров на критерии и в ряде случаев попытаться улучшить значения тех или иных критериев за счет корректировки ограничений на параметры.

Поиск по сайту: