Численное моделирование процесса движения материальной точки методом Эйлера

При достаточно простой структуре силы уравнения (1.5) могут быть проинтегрированы в квадратурах и получено аналитическое решение задачи (см. примеры из настоящего параграфа). В более сложных случаях следует воспользоваться средствами вычислительной техники.

В качестве примера рассмотрим применение метода численного интегрирования Эйлера для решения указанной задачи.

Напомним суть метода численного интегрирования Эйлера: если при некотором значении аргумента известны значение функции и значение ее первой производной , то в момент времени значение может быть приближенно вычислено, как:

. (1.18)

Графическая интерпретация сказанного приведена на рисунке 1.8, где элемент кривой на отрезке изменения аргумента от до заменяется элементом прямой с углом наклона, равным углу наклона касательной в точке . Очевидно, что чем меньше изменение аргумента (шага интегрирования по времени ), тем меньше отличается приближенное значение от точного решения .

Более подробно о методе численного интегрирования Эйлера и особенностях его применения для моделирования процесса движения можно прочитать, например, в [5] или [8].

Перепишем уравнение основного закона динамики материальной точки (1.5) в виде

; . (1.19)

Из (1.19) следует, что основной закон определяет приращения и величин и за промежуток времени , т.е. характеризует изменение во времени параметров состояния движения (положение и скорость) материальной точки под действием приложенной к ней силы . Естественно, что начальные условия и должны быть заданы.

Заменив в (1.19) бесконечно малые приращения , и на малые, но конечные приращения , и , получим соотношения

;

; (1.20)

.

Зависимости (1.20) носят рекуррентный характер и позволяют последовательно находить (разумеется, приближенно) положение и скорость точки, идя от ее начального положения.

Ясно, что точность решения повышается с уменьшением шага по времени. Расчет целесообразно повторять с уменьшением шага до тех пор, пока различие результатов двух последовательных расчетов не окажется в пределах требуемой точности.

Заметим, что решая таким образом уравнения движения свободной материальной точки мы непосредственно моделируем в числах соответствующий процесс, не нарушая причинно-следственные связи, но внося в них некоторые погрешности, т.е. возмущения, неизбежные при практической реализации процесса. При этом если устойчивость самого процесса движения достаточна, то будет достаточной и устойчивость счета, т.е. результаты его будут сравнительно мало зависеть от погрешностей округления значащих цифр и от замены бесконечно малых шагов хотя и малыми, но конечными шагами. Наоборот, неустойчивость счета, т.е. резкое изменение результатов в зависимости от шага расчета и округления значащих цифр, говорит о неустойчивости самого процесса движения. В последнем случае расчетная оценка движения каким-либо способом вообще оказывается бессмысленной.

Поиск по сайту: