Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Функция распределения и ее свойства



 

Пусть Х — непрерывная случайная величина (см. опреде­ление 3 п. 18.1), значения которой сплошь заполняют интервал (а, b). Теперь уже нельзя составить перечень всех возможных значений X, как это было сделано в случае дискретной случай­ной величины. Тем не менее существует способ задания любых видов случайных величин. Пусть х — действительное число. Обозначим вероятность события того, что Х примет значение, меньшее x, через F(x).

Определение 1. Функцией распределения случайной величи­ны Х называется функция F(x), определяющая вероятность того, что Х примет значение, меньшее х:

 

 

Геометрический смысл приведенного определения: F(x) — это вероятность того, что случайная величина Х примет зна­чение, изображаемое точкой на числовой оси левее точки х. По виду функции F(x) определяется и вид случайной величины. Уточним понятие непрерывной случайной величины.

Определение 2. Случайная величина называется непрерыв­ной, если ее функция распределения есть непрерывная кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Таким образом, дискретную случайную величину можно считать кусочно-непрерывной.

Функция распределения обладает рядом фундаментальных свойств, указанных ниже.

Свойство 1. Область значений функции распределения ле­жит на отрезке [0,1]:

 

Свойство 2. Функция распределения является неубываю­щей, т.е.

 

Свойство 3. Если возможные значения случайной вели­чины находятся на интервале (а, b), то F(x) = 0 при ха и F(x) = 1 при хb.

Из указанных свойств вытекают важные следствия.

1. Вероятность того, что случайная величина Х принимает значения, заключенные внутри интервала (α, β), равна разнос­ти значений функции распределения на концах этого интервала:

 

 

2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

3. Если возможные значения непрерывной случайной вели­чины Х расположены на всей числовой оси, то

 

 

График функции распределения непрерывной случайной ве­личины показан на рис. 18.2.

 

Пример 1. Найти функцию распределения процентного изме­нения стоимости акций по данным примера 3 п. 18.1 и постро­ить ее график.

Решение. Перепишем таблицу распределения дискретной случайной величины в порядке возрастания ее возможных зна­чений:

 

 

Если х ≤ 5, то F(x) = 0. Если 5 < х ≤ 10, то F(x) = 0,1. На интервале 10 < х ≤ 15 применяем теорему сложения вероят­ностей, так как события Х < 10 и 10 < Х ≤ 15 несовместны: F(x) = 0,1 + 0,1 = 0,2. Аналогично определяются значения F(x) на других интервалах: при 15 < х ≤ 20 F(x) = 0,4; при 20 < х ≤ 25 F(x) = 0,7; при 25 < х ≤ 30 F(x) = 0,9; при х > 30 имеем достоверное событие (все случаи изменения сто­имости акций исчерпаны), т.е. F(x) = 1. Таким образом, иско­мая функция распределения имеет следующую аналитическую форму записи:

 

 

График этой функции распределения показан на рис. 18.3.

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.