Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

Нормальное распределение является одним из самых рас­пространенных в применениях математической статистики. Для оценки отклонения эмпирического распределения от нор­мального используют характеристики, аналогичные для тео­ретического распределения (см. предыдущий раздел 18.6).

Асимметрия эмпирического распределения определяется следующим равенством:

Эксцесс эмпирического распределения определяется следу­ющим равенством:

В формулы (18.62) и (18.63) входят центральные эмпирические моменты, определяемые формулами (18.61), а также выбороч­ное среднее квадратическое отклонение (18.55).

Пример 6. Найти асимметрию и эксцесс эмпирического рас­пределения:

Решение. Найдем сначала _в и σ_в с использованием фор­мул (18.52)-(18.55):

Далее, используя формулы (18.61), определяем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:

Затем по формулам (18.62) и (18.63) находим искомые величины:

В заключение отметим, что все оценки, приведенные выше, определяются одним числом, т.е. являются точечными. При малых объемах выборки точечная оценка может приводить к большим ошибкам и значительно отличаться от оцениваемого параметра.

УПРАЖНЕНИЯ

18.1. Из коробки с шестью деталями, среди которых четыре стандартные, наудачу взяты три детали. Составить закон рас­пределения дискретной случайной величины Х — количества стандартных деталей среди отобранных.

18.2. Книга издана тиражом 100 тысяч экземпляров. Вероят­ность брака в книге равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

18.3. Случайная составляющая дохода равна 2Х, а случайная составляющая затрат равна 50Y. Найти дисперсию прибыли при условиях: величина Х распределена по биномиальному за­кону с параметрами п = 100, р = 0,5; величина Y распределена по закону Пуассона с параметром λ = 2; случайные величины Х и Y являются независимыми.

18.4. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения

18.5. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х — числа отказов элемента некоторого устройства — в 10 неза­висимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

18.6. Дискретная случайная величина Х задана законом рас­пределения

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и чет­вертого порядков.

18.7. Дано распределение двумерной дискретной случайной ве­личины (X, Y):

Найти ковариацию Cov (X, Y) и коэффициент корреляции Х и Y.

18.8. Непрерывная случайная величина Х задана на всей оси Ох функцией распределения F(x) = 1/2 + (arctg x) / π. Найти вероятность того, что величина Х примет значение, заключен­ное в интервале (0, 1).

18.9. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что Х примет значения:а) менее 0,2; б) менее трех;в) не менее трех;г) не менее пяти.

18.10. Дискретная случайная величина задана законом распре­деления

Найти функцию распределения и построить ее график.

18.11. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

18.12. Случайная величина Х задана на положительной полу­оси Ох функцией распределения F(x) = 1 - e^-ax (а > 0). Найти математическое ожидание величины X.

18.13. Случайная величина Х задана на интервале (0,5) плот­ностью распределения f(x) = 2.x / 25; вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию X.

18.14. Случайная величина Х задана плотностью распределе­ния f(x) = е^-|x| / 2. Найти математическое ожидание и диспер­сию.

18.15. Случайная величина задана функцией распределения

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

18.16. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интер­вале (2, 8).

18.17. Ребро куба х измерено приближенно в интервале (а, b). Найти математическое ожидание и дисперсию объема куба, ес­ли его ребро рассматривать как случайную величину Х с рав­номерным распределением на указанном интервале.

18.18. Размер мужских сорочек является случайной величиной с нормальным законом распределения, математическим ожи­данием 39 и дисперсией 9. Какой процент от общего объема заказа следует предусмотреть магазину для сорочек 40-го раз­мера воротничка при условии, что этот размер находится в интервале (39,5; 40,5)?

18.19. Найти формулу плотности вероятности нормально рас­пределенной случайной величины X, если математическое ожидание равно 3, а дисперсия равна 16.

18.20. Случайная величина Х распределена нормально с ма­тематическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания Х в интервал (10, 15) равна 0,2. Найти вероятность попадания Х в интервал (35, 40).

Поиск по сайту: