Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Статистические оценки параметров распределения



 

Значения количественного признака х1, х2, ..., хk в выборке можно рассматривать как независимые случайные величины. В таком случае нахождение статистической оценки неизвест­ного параметра теоретического распределения означает отыс­кание функции от наблюдаемых случайных величин, которая и даст нам приближенное значение искомого параметра. Укажем виды статистических оценок.

Несмещенной называется статистическая оценка , мате­матическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любой выборке:

 

Смещенной называется оценка, при которой условие (18.51) не выполнено. Эффективной называется оценка, которая имеет минимальную дисперсию при заданном объеме выборки п. Со­стоятельной называется статистическая оценка типа (18.50), которая при п > стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Теперь укажем виды числовых характеристик оценок. Прежде всего, это средние. Генеральная средняя для изучаемо­го количественного признака Х по генеральной совокупности

 

 

и выборочная средняя

 

 

Если значения признака х1, x2, …, хk в выборке имеют соответ­ственно частоты n1, n2, ..., nk, то последнюю формулу можно переписать в виде

 

 

Можно показать, что выборочная средняя (18.52) является не­смещенной оценкой; это аналог математического ожидания случайной величины.

Введем в рассмотрение величины, характеризующие от­клонение значений количественного признака Х от своего сред­него значения. Это генеральная дисперсия:

 

 

и выборочная дисперсия:

 

 

Можно показать, что для вычисления этих характеристик справедливы более удобные формулы, аналогичные дисперсии случайной величины; так, формула (18.53) принимает вид

 

Генеральное среднее квадратическое отклонение опреде­ляется как

 

 

Аналогично вводится и выборочное среднее квадратическое отклонение

 

Пример 4. Выборка задана таблицей распределения

 

 

Найти выборочные характеристики: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. По формуле (18.52) сначала находим в:

 

 

Затем по формулам (18.54) и (18.55) находим две другие иско­мые величины:

 

Виды дисперсий

 

Часто значения количественного признака Х совокупности разбиваются на определенное число групп. Каждую группу можно рассматривать как самостоятельную выборку, и для каждой группы можно определить групповую среднюю и дис­персию. Пусть r — число групп. Групповой дисперсией на зывается дисперсия значений признака в группе относительно групповой средней:

 

 

где ni частота значения xi в группе, j — номер группы j групповая средняя j-й группы, Nj = ni, — объем j-й группы.

Зная дисперсию каждой группы, можно определить их сред­нюю арифметическую. Внутригрупповой дисперсией называ­ется средняя арифметическая дисперсий, где каждое слагаемое входит с весом объема группы:

 

 

В свою очередь, зная для всех групп средние j и общую среднюю , введем еще одно понятие. Межгрупповой диспер­сией называется дисперсия групповых средних относительно общей средней:

 

 

где п = объем всей совокупности.

Для общей дисперсии всей совокупности справедлива сле­дующая теорема, которая приводится здесь без доказатель­ства.

ТЕОРЕМА 6. Если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:

 

где слагаемые в правой части определяются соответствен­но формулами (18.57) и (18.58).

Поясним сказанное в этом пункте на примере.

Пример 5. Совокупность состоит из двух следующих групп:

 

 

Найти групповые, внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии.

Решение. Объемы групп соответственно равны N1 = 10 и N2 = 5. Общий объем совокупности: п = 10 + 5 = 15. Найдем групповые средние:

 

 

Теперь находим групповые дисперсии по формуле (18.56):

 

 

Внутригрупповая дисперсия, согласно формуле (18.57), равна:

 

 

Теперь найдем межгрупповую дисперсию по формуле (18.58), для чего сначала определим общую среднюю:

 

 

Наконец, общая дисперсия, согласно формуле (18.59), равна:

 

Эмпирические моменты

 

Для вычисления сводных характеристик выборок исполь­зуют эмпирические моменты, аналогичные соответствующим теоретическим моментам. Обычным эмпирическим моментом порядка s называется среднее значение s-x степеней разностей xi — С, где xi наблюдаемая варианта, С — произвольная постоянная (ложный нуль — либо мода, либо любая варианта, расположенная примерно в середине вариационного ряда):

 

 

При C = 0 имеем начальные эмпирические моменты порядка s; в частности, в случае s = 1

 

Центральным эмпирическим моментом порядка s называется обычный момент (18.60) при С = в:

 

 

В частности,

 

 

Иными словами, выборочная дисперсия равна центральному эмпирическому моменту второго порядка. Центральные момен­ты выражаются через обычные по формулам, полностью ана­логичным (18.19) и (18.20).




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.