Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Плотность распределения вероятностей и ее свойства



Определение 3. Производная от функции распределения не­прерывной случайной величины Х называется плотностью рас­пределения вероятностей X:

 

 

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения или не­определенным интегралом от нее. Плотность распределения — это "скорость" изменения вероятности Р(Х < х). Из свойства 2 функции распределения следует справедливость следующей фундаментальной теоремы.

ТЕОРЕМА 5. Вероятность того, что непрерывная случай­ная величина Х примет значение на интервале [α, β), опре­деляется по формуле

 

Вспоминая геометрический смысл определенного интеграла (см. п. 7.5), можно сказать, что вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, при­надлежащее интервалу (α, β), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой плотности распределе­ния f(x), снизу — осью Ох, а с краев — вертикальными пря­мыми х = α и х = β (рис. 18.4).

 

 

Связь между функцией распределения и плотностью рас­пределения вероятностей устанавливается, согласно (18.32), формулой

 

Пример 2. Случайная величина Х задана функцией распре­деления

 

 

Найти плотность распределения X.

Решение. Функция F(x) является кусочно-дифференциру­емой. Согласно формуле (18.32), дифференцируя F(x) по ин­тервалам ее задания, получаем

 

Пример 3. Непрерывная случайная величина Х задана плот­ностью распределения на всей числовой оси:

 

 

Найти вероятность того, что Х примет значение на интервале (-1, 1).

Решение. Согласно формуле (18.33), искомая вероятность равна

 

 

Плотность распределения обладает рядом свойств, основ­ные из них указаны ниже.

Свойство 1. Плотность распределения является неотри­цательной функцией:

 

 

Это следует из характера функции распределения: она являет­ся неубывающей, и, значит, ее производная неотрицательна.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности рас­пределения в пределах интегрирования по всей числовой оси равен единице:

 

 

Это равенство означает достоверность события, что случай­ная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (- , ), т.е. вероятность этого события Р(- < Х < ) = 1.

Так, если все возможные значения случайной величины Х лежат внутри интервала (а, b), то

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.