Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Нормальное распределение



Определение 2. Общим нормальным распределением вероят­ностей непрерывной случайной величины Х называется рас­пределение с плотностью

 

 

Нормальное распределение задается двумя параметрами: а и σ. Согласно определениям математического ожидания и дисперсии (формулы (18.36) и (18.38)), после выполнения соответствующих интегрирований можно вывести, что для нор­мального распределения справедливы формулы

 

Определение 3. Нормальное распределение с параметрами а = 0 и σ = 1 называется нормированным; его плотность равна

 

 

Рассмотрим функцию нормального распределения как пер­вообразную плотности распределения вероятностей. Для слу­чая нормированного нормального распределения (18.41) она, согласно формуле (18.34), имеет вид

 

 

Поскольку функция (18.41) является четной, то неопределен­ный интеграл от нее является нечетной функцией, и потому вместо функции распределения (18.42) используется функция Лапласа (см. п. 17.5)

 

 

Функции (18.41) и (18.43) табулированы (см. Приложение).

График плотности нормального распределения (18.40) для разных значений а показан на рис. 18.6.

 

Определение 4. Модой Мо(Х) называется возможное значе­ние случайной величины X, при котором плотность распреде­ления имеет максимум.

Определение 5. Медианой Ме(Х) называется такое возмож­ное значение случайной величины X, что вертикальная пря­мая х = Me(X) делит пополам площадь, ограниченную кривой плотности распределения.

Нетрудно видеть, что график плотности нормального рас­пределения симметричен относительно прямой х = а, и потому и мода и медиана в данном случае совпадают с математичес­ким ожиданием:

 

 

Пусть случайная величина Х задана плотностью нормаль­ного распределения (18.40), тогда вероятность того, что Х при­мет значение на интервале (α, β), согласно формуле (18.33), равна

 

 

Преобразование этой формулы путем введения новой перемен­ной интегрирования z = (х - а)/σ приводит к удобной вычис­лительной формуле:

 

 

где Ф — функция Лапласа, определенная по формуле (18.43).

Пример 3. Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 10 и 5. Найти ве­роятность того, что Х примет значение на интервале (20, 30).

Решение. Воспользуемся формулой (18.44). По условию а = 10, σ = 5, α = 20 и β = 30. Следовательно,

 

 

По табл. 2 Приложения находим соответствующие значения функции Лапласа и окончательно получаем

 

Пример 4. Магазин производит продажу мужских костюмов. По данным статистики, распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 48 и 2. Опре­делить процент спроса на 50-й размер при условии разброса значений этой величины в интервале (49, 51).

Решение. По условию задачи а = 48, σ = 2, α = 49, β = 51. Используя формулу (18.44), получаем, что вероятность спроса на 50-й размер в заданном интервале равна

 

 

Следовательно, спрос на 50-й размер костюмов составит около 24%, и магазину нужно предусмотреть это в общем объеме закупки.

Асимметрия и эксцесс

 

В прикладных задачах, например в математической ста­тистике, при теоретическом изучении эмпирических распре­делений, отличающихся от нормального распределения, воз­никает необходимость количественных оценок этих различий. Для этой цели введены специальные безразмерные характеристики.

Определение 6. Асимметрией теоретического распределения называется отношение центрального момента третьего поряд­ка к кубу среднего квадратического отклонения:

 

Определение 7. Эксцессом теоретического распределения на­зывается величина, определяемая равенством

 

 

где μ4 — центральный момент четвертого порядка.

Для нормального распределения As = Еk = 0. При отклоне­нии от нормального распределения асимметрия положительна, если "длинная" и более пологая часть кривой распределения расположена справа от точки на оси абсцисс, соответствую­щей моде; если эта часть кривой расположена слева от моды, то асимметрия отрицательна (рис. 18.7, а, б).

Эксцесс характеризует "крутизну" подъема кривой распре­деления по сравнению с нормальной кривой: если эксцесс поло­жителен, то кривая имеет более высокую и острую вершину; в случае отрицательного эксцесса сравниваемая кривая имеет более низкую и пологую вершину (рис. 18.7, в).

 

 

Следует иметь в виду, что при использовании указанных характеристик сравнения опорными являются предположения об одинаковых величинах математического ожидания и дис­персии для нормального и теоретического распределений.

Пример 5. Пусть дискретная случайная величина Х задана законом следующего распределения:

 

 

Найти асимметрию и эксцесс теоретического распределения.

Решение. Найдем сначала математическое ожидание слу­чайной величины:

 

 

Затем вычисляем начальные и центральные моменты 2, 3 и 4-го порядков и среднее квадратическое отклонение (см. фор­мулы (18.27)-(18.31)):

 

 

Теперь по формулам (18.45) и (18.46) находим искомые вели­чины:

 

 

В данном случае "длинная" часть кривой распределения рас­положена справа от моды, причем сама кривая является не­сколько более островершинной, чем нормальная кривая с теми же величинами математического ожидания и дисперсии.




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.