Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности



Определение 2. Отношение числа испытаний в которых со­бытие А появилось, к общему числу фактически проведенных испытаний, называют относительной частотой события

 

 

где m — число появлений события A, n — общее число испы­таний.

Разница между вероятностью и относительной частотой состоит в том, что первая вычисляется до опыта, а вторая — после него. Одной из важных характеристик независимых ис­пытаний с постоянной вероятностью появления события А в каждом испытании (0 < р < 1) является отклонение относи тельной частоты от вероятности р. Вероятность того, что это отклонение не превышает по модулю заданного числа ε:

 

 

определяется формулой

 

Пример 7. Вероятность получения нестандартной детали р = 0,1. Найти вероятность того, что среди случайно взятых 200 деталей относительная частота появления нестандартной детали отклонится от вероятности р по абсолютной величине не более чем на 0,03.

Решение. В данном случае п = 200, q = 0,9, ε = 0,03. По формуле (17.20) имеем

 

 

Смысл полученного результата состоит в том, что при доста­точно большом числе проб, каждая из которых содержит 200 случайно выбранных деталей, в 84% случаев отклонение от­носительной частоты от постоянной вероятности р = 0,1 по абсолютной величине не превысит 0,03.

УПРАЖНЕНИЯ

17.1. Найти число способов извлечения из 36 игральных карт двух тузов и двух королей.

17.2. Во взводе служат 32 солдата. Ежедневно для несе­ния караула выделяются по два человека. Можно ли соста­вить расписание караульной службы так, чтобы никакая па­ра военнослужащих этого взвода не несла караульную службу дважды?

17.3. Два букиниста обмениваются друг с другом парами книг. Найти число способов обмена, если первый букинист обмени­вает 6 книг, а второй — 8 книг.

17.4. Абонент забыл две промежуточные цифры номера теле­фона и набрал их наугад. Найти вероятность того, что номер набран правильно в случаях: а) две разные цифры располо­жены в номере рядом; б) обе цифры расположены в разных местах, за исключением первой позиции.

17.5. В урне находится 10 шаров, 7 из которых белые. Найти вероятность того, что из 6 взятых наугад шаров будет 4 белых.

17.6. В ящике имеется 15 деталей, из которых 10 стандартных. Сборщик наугад берет 3 детали. Найти вероятность того, что все взятые детали будут стандартными.

17.7. В урне 40 шаров: 15 белых, 15 красных и 10 синих. Найти вероятность появления цветного шара.

17.8. Абонент забыл первую цифру телефонного номера. Най­ти вероятность того, что при наборе номера наудачу он набе­рет его верно не более чем с трех попыток.

17.9. В лотерее разыгрывается 200 вещевых и 50 денежных вы­игрышей на каждые 10 тыс. билетов. Чему равна вероятность выигрыша вообще?

17.10. В условиях примера 17.7 из урны извлекают один шар, не возвращая его обратно, затем извлекают второй. Найти ве­роятность извлечения из урны во второй раз цветного шара.

17.11. В читальном зале имеется 6 учебников, из которых три нового выпуска. Читатель последовательно, один за другим, взял 2 учебника. Найти вероятность того, что обе взятые книги нового выпуска.

17.12. Три автомашины направлены на перевозку груза. Ве­роятность исправного состояния первой из них составляет 0,7, второй — 0,8 и третьей — 0,5. Найти вероятность того, что все три автомашины находятся в эксплуатации.

17.13. В автохозяйстве имеются две автоцистерны. Вероят­ность технической исправности этих машин составляет соот­ветственно 0,9 и 0,8. Найти вероятность исполнения работы второй автоцистерной заказчику, сделавшему накануне заказ на автоцистерну.

17.14. Инвестор решил вложить поровну средства в три предприятия при условии возврата ему через определенный срок 150% от вложенной суммы каждым предприятием. Вероят­ность банкротства каждого из предприятий 0,2. Найти веро­ятность того, что по истечении срока кредитования инвестор получит обратно по крайней мере вложенную сумму.

Указание. См. формулу (17.11) и пример 1 из п. 17.4.

17.15. При проверке изделия на соответствие стандарту веро­ятность того, что оно пройдет через первого контролера, рав­на 0,55, а через второго — 0,45. Вероятность признания без­дефектного изделия стандартным у первого контролера равна 0,9, а у второго — 0,98. Бездефектное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие прошло через второго контролера.

17.16. В одном из ящиков находится 7 деталей, из которых 3 нестандартные; в другом — 5 деталей, из них 2 нестандарт­ные. Из первого ящика наугад перекладывают деталь во вто­рой ящик, потом из него берут деталь. Найти вероятность то­го, что извлеченная деталь окажется нестандартной.

17.17. Три стрелка выстрелили залпом по цели, и две пули поразили ее. Найти вероятность того, что первый стрелок по­разил цель, если вероятности попадания в цель стрелками со­ответственно равны 0,4, 0,3 и 0,5.

17.18. Определить, что вероятнее для соперников равной силы при игре в шахматы: выиграть одну партию из двух или две партии из четырех.

17.19. Монету бросают пять раз. Найти вероятность выпаде­ния одной из сторон: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

17.20. Вероятность выпуска стандартной детали равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 100 деталей будет ровно 75 стандартных.

17.21. Вероятность рождения девочки равна 0,51. Найти ве­роятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 девочек.

17.22. Вероятность появления события равна 0,7 в каждом из 2100 независимых испытаний. Найти вероятность появления события: а) не менее 1470 раз; б) не менее 1470 и не более 1500 раз; в) не более 1469 раз.

17.23. Вероятность обращения в поликлинику каждого взрос­лого человека в период эпидемии гриппа равна 0,8. Найти, сре­ди какого числа взрослых человек можно ожидать, что в по­ликлинику будет не менее 75 обращений.

17.24. В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. р. при условии возврата 110% от этой суммы. Ве­роятность невозврата кредита каждым из клиентов в среднем составляет р = 0,01. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью:а) 0,8;б) 0,995?

17.25. Вероятность появления события в каждом из 900 неза­висимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более чем на 0,02 по абсолютной величине.




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.