Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Интегральная теорема Лапласа



 

Опять предположим, что в каждом из произведенных п ис­пытаний событие А появляется с одинаковой вероятностью р. В прикладных вопросах теории вероятностей наиболее употре­бимы определения вероятности события А в п испытаниях, ког­да k изменяется в заданном интервале значений: l < k < т. Соответствующую вероятность обозначают Рп(l, т). Формула для приближенного вычисления этой вероятности устанавли­вается следующей интегральной теоремой Лапласа.

ТЕОРЕМА 8. Пусть вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность того, что событие А появится в п испытаниях от l до т раз, приближенно равна определенному интегралу:

 

 

Формула (17.18), как и (17.17), применима в случае боль­ших значений п и k. При вычислениях по этой формуле поль­зуются специальными таблицами для интеграла

 

 

поскольку соответствующий неопределенный интеграл не вы­ражается через элементарные функции. Функцию Ф(x) часто называют интегралом ошибок, соответствующая таблица ее значений приведена в Приложении. Эта функция является не­четной, поэтому в таблицах обычно приводят значения Ф(x) для положительных значений верхнего предела интегрирова­ния х. Более удобно использовать формулу (17.18) в виде фор­мулы Ньютона-Лейбница:

 

Пример 5. Вероятность выпуска бракованных деталей рав­на 0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных деталей будет не менее 75 стандартных.

Решение. По условию задачи р = 0,7, q = 0,3, n = 100. Условие "не менее" означает, что число стандартных деталей k заключено в пределах от l = 75 до т = 100. Согласно формуле (17.19) производим предварительные вычисления:

 

 

Далее по табл. 2 Приложения находим соответствующие зна­чения интегральной функции Ф(x), подставляем их в формулу (17.19) и получаем значение искомой вероятности:

 

Пример 6. В страховой компании 10 тыс. клиентов, застрахо­вавших свою недвижимость. Страховой взнос составляет 2000 р., вероятность несчастного случая р = 0,005, страховая выплата клиенту при несчастном случае составляет 200 тыс. р. Определить размер прибыли страховой компании с вероятностью Р: 1) 0,9, 2) 0,995.

Решение. Прибыль компании зависит от числа страховых выплат k при несчастных случаях. Будем полагать, что вели­чина ее равна разности между суммами страховых взносов и страховых выплат:

 

 

Теперь задача состоит в нахождении такого числа N, чтобы вероятность несчастного случая Р10 000(k > N) была не больше заданной величины 1 — Р, или, что то же самое, чтобы выпол­нялось условие

 

 

Тогда с вероятностью Р прибыль компании составит (20 - 0,2N) млн р. Предварительные вычисления значений аргумен­та функции Ф(x) при п = 10 000, l = N и m = 10 000 по фор­мулам (17.19) дают:

 

 

Из табл. 2 находим, что Ф(x) = 0,5 при |x| > 5. Подставляя в указанное выше неравенство, получаем

 

 

1. В этом случае имеем неравенство

 

 

По табл. 2 находим, что при значении функции Ф = 0,4 аргу­мент х равен 1,28; поскольку функция Ф(x) является монотонно возрастающей, то неравенство между значениями Ф(x) перехо­дит в неравенство такого же смысла и для соответствующих аргументов:

 

 

Отсюда получаем, что N ≥ 50 + 9,02, или N ≥ 60. В этом случае с вероятностью 0,9 страховой компании гарантирована прибыль

 

 

2. Проводя для этого случая аналогичные вычисления, по­лучим

 

 

Из табл. 2 находим, что при Ф(x) = 0,495 аргумент х = 2,57, т.е.

 

 

Из последнего неравенства получаем N ≥ 69, и в этом случае с вероятностью 0,995 компании гарантирована прибыль

 

 

Из решенной задачи хорошо видно, что увеличение риска страхования может привести к возрастанию прибыли компа­нии. Это есть реализация известного принципа в предпринима­тельской деятельности: менее рискованные, но более надежные финансовые операции не приносят сверхприбылей.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.