Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Часть 5. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ



 

Общая постановка задачи

Определение 1. Линейное программирование — наука о ме­тодах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений.

Определение 2. Математическое выражение целевой функ­ции и ее ограничений называется математической моделью экономической задачи.

В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЛП) записывается как

 

 

при ограничениях:

 

где xj — неизвестные; aij, bi, cj — заданные постоянные вели­чины.

Все или некоторые уравнения системы ограничений могут быть записаны в виде неравенств.

Математическая модель в более краткой записи имеет вид

 

 

при ограничениях:

 

Определение 3. Допустимым решением (планом) зада­чи линейного программирования называется вектор = (x1, x2,..., xп), удовлетворяющий системе ограничений.

Множество допустимых решений образует область допус­тимых решений (ОДР).

Определение 4. Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называ­ется оптимальным решением задачи линейного программиро­вания и обозначается опт.

Базисное допустимое решение 1, х2,..., xr, 0, …, 0) яв­ляется опорным решением, где r — ранг системы ограничений.

 

Виды математических моделей

 

Математическая модель задачи ЛП может быть каноничес­кой и неканонической.

Определение 5. Если все ограничения системы заданы урав­нениями и переменные xj неотрицательные, то такая модель задачи называется канонической.

Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель задачи ЛП является неканонической. Чтобы перейти от неканонической модели к канонической, необходимо в каждое неравенство ввести балансовую переменную xn+i. Если знак неравенства ≤, то балансовая переменная вводится со знаком плюс, если знак неравенства ≥, то — минус. В целевую функ­цию балансовые переменные не вводятся.

Чтобы составить математическую модель задачи ЛП, не­обходимо:

— ввести обозначения переменных;

— исходя из цели экономических исследований, составить целевую функцию;

— учитывая ограничения в использовании экономических показателей задачи и их количественные закономернос­ти, записать систему ограничений.

Для рассмотрения решения задач линейного программиро­вания дадим некоторые понятия аналитической геометрии в n-мерном пространстве.

Глава 19. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Основные понятия и определения

 

Дано n-мерное пространство, точки которого имеют коор­динаты (x1, x2, . . . ,xп).

Определение 1. Множество точек n-мерного пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению

 

где хотя бы одно из чисел а1, a2, ..., an отлично от нуля, на­зывается гиперплоскостью п-мерного пространства.

В векторной форме оно записывается следующим образом:

 

 

где = (a1, a2,..., an), = (x1, x2,..., xn).

Даны две гиперплоскости

 

Определение 2. Множество точек n-мерного пространства, координаты которых одновременно удовлетворяют каждому уравнению системы, называется пересечением гиперплоскос­тей.

Дано неравенство

 

 

Эта зависимость определяет полуплоскость двухмерного про­странства, лежащую по одну сторону от прямой

 

 

которая называется граничной прямой.

Определение 3. Множество точек n-мерного пространства, координаты которых удовлетворяют неравенству

 

 

называется полупространством n-мерного пространства, рас­положенным по одну сторону от гиперплоскости

 

Определение 4. Множество точек n-мерного пространства, содержащее вместе с любыми двумя точками A и В и все точ­ки отрезка АВ, называется выпуклым телом (областью, фи­гурой).

Примеры плоских выпуклых фигур приведены на рис. 19.1.

 

 

Примеры невыпуклых фигур приведены на рис. 19.2.

 

 

Дадим некоторые определения выпуклой области.

Определение 5. Точка А называется внутренней точкой вы­пуклой области, если в сколь угодно малой окрестности этой точки содержатся только точки этой области.

Определение 6. Точка В называется граничной точкой вы­пуклой области, если в сколь угодно малой окрестности этой точки содержатся как точки данной области, так и не принад­лежащие ей (рис. 19.3).

Определение 7. Точка С называется угловой точкой вы­пуклой области, если она является граничной и не лежит внутри отрезка, соединяющего две другие точки этой облас­ти (рис. 19.3).

 

Определение 8. Если область включает все свои граничные точки, то она называется замкнутой.

Выпуклая область может быть ограниченной и неограни­ченной.

Определение 9. Ограниченной называется область, если су­ществует такое число М > 0, что радиус-вектор , соединяю­щий начало координат с любой точкой области, по абсолютной величине меньше М, т.е. ||М.

Для этой области все ее точки находятся на конечном рас­стоянии от начала координат.

Определение 10. Если найдутся точки области, сколь угод­но удаленные от начала координат, то область называется не­ограниченной.

Определение 11. Выпуклая замкнутая ограниченная область, имеющая конечное число угловых точек, называется вы­пуклым п-мерным многогранником.

Определение 12. Выпуклая замкнутая неограниченная об­ласть, имеющая конечное число угловых точек, называется вы­пуклой п-мерной многогранной областью.

Определение 13. Линейная комбинация S векторов

 

 

в которой коэффициенты ti удовлетворяют условиям

 

называется выпуклой линейной комбинацией.

Определение 14. Пересечением выпуклых областей называ­ется множество точек, являющееся общей частью этих облас­тей.

ТЕОРЕМА 1. Пересечение выпуклых областей есть выпуклая область.

ТЕОРЕМА 2. Множество точек выпуклого п-мерного много­гранника совпадает с множеством любых выпуклых линейных комбинаций его угловых точек.

19.2. Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными

 

Дана система т линейных неравенств с двумя переменными

 

 

Знаки некоторых или всех неравенств могут быть ≥.

Рассмотрим первое неравенство в системе координат Х1ОХ2. Построим прямую

 

 

которая является граничной прямой.

Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости 1 и 2 (рис. 19.4).

 

 

Полуплоскость 1 содержит начало координат, полуплос­кость 2 не содержит начала координат.

Для определения, по какую сторону от граничной прямой расположена заданная полуплоскость, надо взять произволь­ную точку на плоскости (лучше начало координат) и подста­вить координаты этой точки в неравенство. Если неравенство справедливо, то полуплоскость обращена в сторону этой точки, если не справедливо, то в противоположную от точки сторону.

Направление полуплоскости на рисунках показываем стрел­кой.

Определение 15. Решением каждого неравенства систе­мы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.

Определение 16. Пересечение полуплоскостей, каждая из ко­торых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью решения системы (ОР).

Определение 17. Область решения системы, удовлетворяю­щая условиям неотрицательности (xj ≥ 0, j = ), называ­ется областью неотрицательных, или допустимых, решений (ОДР).

Если система неравенств совместна, то ОР и ОДР могут быть многогранником, неограниченной многогранной облас­тью или одной точкой.

Если система неравенств несовместна, то ОР и ОДР — пус­тое множество.

Пример 1. Найти ОР и ОДР системы неравенств и опреде­лить координаты угловых точек ОДР

 

Решение. Найдем ОР первого неравенства: х1 + 3x2 ≥ 3. Построим граничную прямую х1 +3x2 – 3 = 0 (рис. 19.5). Под­ставим координаты точки (0,0) в неравенство: 1∙0 + 3∙0 > 3; так как координаты точки (0,0) не удовлетворяют ему, то решени­ем неравенства (19.1) является полуплоскость, не содержащая точку (0,0).

Аналогично найдем решения остальных неравенств систе­мы. Получим, что ОР и ОДР системы неравенств является выпуклый многогранник ABCD.

 

 

Найдем угловые точки многогранника. Точку А определим как точку пересечения прямых

 

 

Решая систему, получим А(3/7, 6/7).

Точку В найдем как точку пересечения прямых

 

 

Из системы получим B(5/3, 10/3). Аналогично найдем коорди­наты точек С и D: С(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Пример 2. Найти ОР и ОДР системы неравенств

 

Решение. Построим прямые и определим решения не­равенств (19.5)-(19.7). ОР и ОДР являются неограниченные многогранные области ACFM и ABDEKM соответственно (рис. 19.6).

Пример 3. Найти ОР и ОДР системы неравенств

 

 

Решение. Найдем решения неравенств (19.8)-(19.10) (рис. 19.7). ОР представляет неограниченную многогранную область ABC; ОДР — точка В.

 

Пример 4. Найти OP и ОДР системы неравенств

 

 

Решение. Построив прямые, найдем решения неравенств системы. ОР и ОДР несовместны (рис. 19.8).

УПРАЖНЕНИЯ

 

Найти ОР и ОДР систем неравенств

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.