Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Двумерная случайная величина



 

До сих пор мы рассматривали дискретные случайные ве­личины, которые называют одномерными: их возможные зна­чения определялись одним числом. Кроме одномерных вели­чин рассматривают также величины, возможные значения ко­торых определяются несколькими числами. Двумерную слу­чайную величину обозначают через (X, Y); каждая из величин X и Y называется компонентой (составляющей). Обе величи­ны Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Например, при штамповке стальных пластинок их длина и ширина представляют собой двумерную случайную величину.

Определение 1. Законом распределения двумерной случай­ной величины (X, Y) называют множество возможных пар чи­сел (xi, yj) и их вероятностей p(xi, yj). Двумерную случайную величину можно трактовать как случайную точку А(Х, Y) на координатной плоскости.

 

Закон распределения двумерной случайной величины обыч­но задается в виде таблицы, в строках которой указаны воз­можные значения xi случайной величины X, а в столбцах — возможные значения yj случайной величины Y, на пересече­ниях строк и столбцов указаны соответствующие вероятности pij. Пусть случайная величина Х может принимать п значе­ний, а случайная величина Y - т значений. Тогда закон рас­пределения двумерной случайной величины (X, Y) имеет вид

 

 

Из этой таблицы можно найти законы распределения каждой из случайных компонент. Например, вероятность того, что слу­чайная величина Х примет значение хk, равна, согласно тео­реме сложения вероятностей независимых событий,

 

 

Иными словами, для нахождения вероятности Р(хk) нужно просуммировать все т вероятностей по k-му столб­цу таблицы (18.21). Аналогично получается вероятность то­го, что случайная величина Y примет возможное значение уr: Р(уr) получается суммированием всех n вероятностей r-й стро­ки таблицы (18.21) (r = 1, 2, ... ,m). Отсюда следует, что сумма всех вероятностей в законе распределения (18.21) равна единице:

 

Пример 1. Задано распределение двумерной случайной вели­чины:

 

 

Найти распределения Х, Y и Х + Y.

Решение. В нашем случае возможные значения случайной величины X: х1 = 1, х2 = 2, x3 = 3. Тогда, согласно формуле (18.22), имеем P(x1) = 0,1 + 0,2 = 0,3, P(x2) = 0,15 + 0,22 = 0,37, Р(x3) = 0,12 + 0,21 = 0,33. Отсюда получаем закон распреде­ления X:

 

 

Аналогично получаем и для распределения Y: у1 = 1, y2 = 2; P(y1) = 0,1 + 0,15 + 0,12 = 0,37, P(y2) = 0,2 + 0,22 + 0,21 = 0,63;

 

 

Теперь найдем распределение X+Y. Возможные значения этой случайной величины: 2, 3, 4 и 5. Соответствующие вероятнос­ти Р(2) = 0,1, Р(3) = 0,15 + 0,2 = 0,35, Р(4) = 0,12 + 0,22 = 0,34, Р(5) = 0,21. Отсюда находим искомое распределение:

 

 

В случае системы двух случайных величин используются кроме математических ожиданий и дисперсий еще и другие числовые характеристики, описывающие их взаимосвязь.

Корреляционный момент

Определение 2. Корреляционным моментом случайных ве­личин Х и Y (или ковариацией) называется математическое ожидание произведений их отклонений:

 

 

Корреляционный момент служит для описания связи между случайными величинами Х и Y. Из свойств математического ожидания легко убедиться в том, что μxy можно записать в следующем виде:

 

 

Для непосредственного вычисления корреляционного момен­та (ковариации) используется формула (см. распределение (18.21))

 

ТЕОРЕМА 3. Корреляционный момент двух независимых слу­чайных величин Х и Y равен нулю.

Если корреляционный момент μxу не равен нулю, то, стало быть, величины Х и Y являются зависимыми.




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.