Как уже говорилось выше, математическое ожидание является средней характеристикой случайной величины. Однако оно не характеризует случайную величину достаточно полно, и по этой причине рассматриваются и другие числовые характеристики. Пусть Х — случайная величина, а М(Х) — ее математическое ожидание.
Определение 2. Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением.
Пусть закон распределения случайной величины Х дается формулой (18.1), тогда отклонение X - M(X) имеет следующий закон распределения:
Отклонение имеет важное свойство, которое устанавливается непосредственно из свойств математического ожидания:
т.е. математическое ожидание отклонения равно нулю.
Пример 5. По данным примера 3 найти закон распределения отклонения числа проданных за день автомашин.
Решение. Как было подсчитано в примере 3, М(Х) = 2,675. Тогда, согласно (18.8), искомый закон определяется следующей таблицей:
На практике важной характеристикой является рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Среднее значение отклонения, согласно (18.9), равно нулю, так как суммируются отрицательные и положительные отклонения (см. пример 5), поэтому целесообразно ввести в рассмотрение абсолютные значения отклонений или их квадраты.
Определение 3. Математическое ожидание квадрата отклонения называется дисперсией, или рассеянием:
Пусть случайная величина задана законом распределения (18.1), тогда квадрат отклонения этой случайной величины имеет следующий закон распределения:
Отсюда, согласно формуле (18.10), получаем формулу дисперсии в развернутом виде:
При вычислении дисперсии часто бывает удобно воспользоваться формулой, которая непосредственно выводится из формулы (18.10):
Пример 6. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным примера 3.
Решение. Закон распределения случайной величины X2 имеет вид
Математическое ожидание М(Х2) подсчитывается из этой таблицы:
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
Перечисленные свойства дисперсии используются при вычислениях, когда мы имеем дело с несколькими случайными величинами. Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: D(X + C) = D(X), где С — постоянная величина. Кроме того, справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 2.Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаниях с вероятностью появления р в каждом из них этого события вычисляется по формуле
Приведем здесь еще два важных результата: для случайной величины, распределенной по закону Пуассона (18.4), математическое ожидание и дисперсия равны параметру данного распределения.
Пример 7. Найти дисперсию числа выигрышных лотерейных билетов по данным примера 4.
Решение. Имеем 200 независимых испытаний с вероятностью появления выигрышного билета р = 0,015. Стало быть, q = 1 - 0,015 = 0,985, откуда и получаем искомую дисперсию:
Пример 8. Банк выдал ссуды п разным заемщикам в размере S р. каждому под ставку ссудного процента r. Найти математическое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также условие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата ссуды заемщиком равна р.
Решение. Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем п независимых испытаний. Вероятность утери ссуды для банка в каждом испытании равна q = 1 - р. Пусть Х — число заемщиков, возвративших ссуду с ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется формулой
где Х является случайной величиной с биномиальным законом распределения. Тогда, согласно теореме 18.1, математическое ожидание прибыли определяется с использованием формулы (18.7):
Поскольку выдача ссуды имеет смысл лишь при положительном математическом ожидании прибыли (положительная средняя величина прибыли), то из условия М(П) > 0 вытекает условие на ставку ссудного процента:
Дисперсия прибыли банка находится, согласно теореме 18.2, с использованием формулы (18.14) и свойств 1-3: