Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Дисперсия дискретной случайной величины



 

Как уже говорилось выше, математическое ожидание яв­ляется средней характеристикой случайной величины. Однако оно не характеризует случайную величину достаточно полно, и по этой причине рассматриваются и другие числовые ха­рактеристики. Пусть Х — случайная величина, а М(Х) — ее математическое ожидание.

Определение 2. Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением.

Пусть закон распределения случайной величины Х дается формулой (18.1), тогда отклонение X - M(X) имеет следующий закон распределения:

 

 

Отклонение имеет важное свойство, которое устанавливается непосредственно из свойств математического ожидания:

 

 

т.е. математическое ожидание отклонения равно нулю.

Пример 5. По данным примера 3 найти закон распределения отклонения числа проданных за день автомашин.

Решение. Как было подсчитано в примере 3, М(Х) = 2,675. Тогда, согласно (18.8), искомый закон определяется следующей таблицей:

 

 

На практике важной характеристикой является рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Среднее значение отклонения, соглас­но (18.9), равно нулю, так как суммируются отрицательные и положительные отклонения (см. пример 5), поэтому целесооб­разно ввести в рассмотрение абсолютные значения отклонений или их квадраты.

Определение 3. Математическое ожидание квадрата откло­нения называется дисперсией, или рассеянием:

 

 

Пусть случайная величина задана законом распределения (18.1), тогда квадрат отклонения этой случайной величины имеет следующий закон распределения:

 

 

Отсюда, согласно формуле (18.10), получаем формулу диспер­сии в развернутом виде:

 

 

При вычислении дисперсии часто бывает удобно воспользо­ваться формулой, которая непосредственно выводится из фор­мулы (18.10):

 

Пример 6. Найти дисперсию ежедневной продажи числа ав­томашин по данным примера 3.

Решение. Закон распределения случайной величины X2 имеет вид

 

 

Математическое ожидание М(Х2) подсчитывается из этой таб­лицы:

 

 

Математическое ожидание М(Х) = 2,675. Следовательно, со­гласно формуле (18.11), получаем искомую величину диспер­сии:

 

Свойства дисперсии

 

Приведем здесь основные свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

 

 

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

 

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

 

 

Перечисленные свойства дисперсии используются при вы­числениях, когда мы имеем дело с несколькими случайными ве­личинами. Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: D(X + C) = D(X), где С — постоянная величина. Кроме того, справед­лива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Дисперсия числа появления события А в п не­зависимых испытаниях с вероятностью появления р в каж­дом из них этого события вычисляется по формуле

 

 

Приведем здесь еще два важных результата: для случай­ной величины, распределенной по закону Пуассона (18.4), ма­тематическое ожидание и дисперсия равны параметру данного распределения.

Пример 7. Найти дисперсию числа выигрышных лотерейных билетов по данным примера 4.

Решение. Имеем 200 независимых испытаний с вероятнос­тью появления выигрышного билета р = 0,015. Стало быть, q = 1 - 0,015 = 0,985, откуда и получаем искомую дисперсию:

 

Пример 8. Банк выдал ссуды п разным заемщикам в размере S р. каждому под ставку ссудного процента r. Найти матема­тическое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также усло­вие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата ссуды заемщиком равна р.

Решение. Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем п независимых испытаний. Вероятность утери ссуды для банка в каждом испытании рав­на q = 1 - р. Пусть Х — число заемщиков, возвративших ссуду с ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется фор­мулой

 

 

где Х является случайной величиной с биномиальным зако­ном распределения. Тогда, согласно теореме 18.1, математи­ческое ожидание прибыли определяется с использованием фор­мулы (18.7):

 

 

Поскольку выдача ссуды имеет смысл лишь при положитель­ном математическом ожидании прибыли (положительная сред­няя величина прибыли), то из условия М(П) > 0 вытекает условие на ставку ссудного процента:

 

 

Дисперсия прибыли банка находится, согласно теореме 18.2, с использованием формулы (18.14) и свойств 1-3:

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.