где f1(x) и f2(y) — непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Подчеркнем, что правая часть уравнения представляет собой произведение, в котором один сомножитель зависит только от х, а другой — только от у. Метод решения такого вида уравнений носит название разделения переменных. Запишем производную у' в ее эквивалентной форме как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной , умножим обе части уравнения (9.3) на dx и поделим обе его части на f2(y), полагая, что f2(у) ≠ 0; получаем
В этом уравнении переменная у входит в левую часть, а переменная х — только в правую, т.е. переменные разделены. Пусть у = φ(x) является решением уравнения (9.3), тогда при подстановке этого решения в уравнение (9.4) получаем тождество: два дифференциала равны друг другу, только в правой части дифференциал выражен через независимую переменную x, а в левой части — через функцию у. Поскольку дифференциалы равны, то их неопределенные интегралы различаются на постоянную величину, т.е., интегрируя слева по переменной у, а справа по переменной х, получаем
где С — произвольная постоянная.
Рассмотрим примеры решения уравнений методом разделения переменных.
Пример 1.ху' — у = 0, найти частное решение при начальных условиях у0 = 2 при x0 = -4.
Решение. Разделим переменные, для чего перенесем у в правую часть, поделим обе части полученного уравнения на ху и умножим их на dx; получим
Интегрируя обе части этого уравнения (правую по x, а левую по у), имеем
где С — произвольная постоянная. При потенцировании получаем
что эквивалентно уравнению у = ±Сх, или у = С1х. Полученная функция представляет семейство интегральных кривых. Для выделения частного решения при указанных начальных условиях подставим в эту формулу х = -4 и у = 2, откуда получим значение для С: С = -1/2. Окончательно частное решение имеет вид
Пример 2.у' = х , найти частное решение, проходящее через точку (0,1).
Решение. Разделяя переменные, получаем уравнение в дифференциалах
Интегрируя, имеем
где С — произвольная постоянная величина. После интегрирования (интеграл в правой части берется при помощи замены переменной) имеем уравнение семейства интегральных кривых
Выделение частного решения, проходящего через точку (0, 1), приводит к определению произвольной постоянной: С = , т.е. эта кривая описывается уравнением (с учетом выбора знака)
Неполные уравнения
Определение 6. Дифференциальное уравнение первого порядка (9.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.
Различают два случая такой зависимости.
1. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде
нетрудно убедиться, что его решением является функция
2. Пусть функция f зависит только от у, т.е. уравнение (9.1) имеет вид
Дифференциальное уравнение такого вида называется автономным. Такие уравнения часто употребимы в практике математического моделирования и исследования природных и физических процессов, когда, например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения, описывающие законы природы. В этом случае особый интерес представляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки,— нули функции f(у), где производная у' = 0.
Решение уравнения (9.6) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения неизвестной функции у = φ(x) (или х = ψ(у)):
В общей теории дифференциальных уравнений развита теория качественного анализа, основанная на исследовании характера стационарных точек.