Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Сведения из теории

Общий вид этих уравнений следующий: . Поясним, почему это уравнение является линейным относительно у и у¢. Обратите внимание, какие операции производятся над ними в уравнении. Переменная у умножается на функцию, зависящую только от х. То же действие выполнено и с у¢. Нет в уравнении ни у², ни уу¢ , никаких других функций от этих переменных. Обе они входят только в первой степени, т.е. линейно. Отсюда и название уравнения.

Существует готовая формула общего решения этого уравнения. Но она слишком громоздка для математически неподготовленного человека. Рассмотрим метод Бернулли для решения линейного уравнения. Он заключается в том, что решение уравнения ищется в виде произведения двух новых неизвестных функций: или короче . Для решения также понадобится заготовка . Далее, в исходное линейное уравнение подставим вместо символа у произведение , а вместо символа заготовку . Получим дифференциальное уравнение относительно новых неизвестных функций и .

Раскроем скобки:

.

Из левой части этого уравнения возьмем два слагаемых: одно обязательно с произведением , а второе с символом и создадим из них новое дифференциальное уравнение:

или .

Вариант, когда , интереса не представляет, т.к. в этом случае и функция . Поэтому получаем уравнение .

Замечание. Если приглядеться, то левая часть этого нового уравнения с точностью до обозначения неизвестной функции удивительно напоминает левую часть исходного линейного дифференциального уравнения. Это означает, что функция -- не что иное, как частное решение однородного линейного уравнения, получающегося из неоднородного заменой правой части на ноль.

Все дальнейшие действия разберем на конкретном примере.

Пример 19. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее заданному начальному условию .

Решение. Для перехода к новому дифференциальному уравнению заменим в исходном уравнении символ у на произведение uv, а символ у¢ на сумму . Получим уравнение

(1)

Из подчеркнутых слагаемых создаем новое уравнение . Сократим его на . Останется уравнение . А это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.

Þ Þ Þ Þ .

Для нахождения нам нужна только одна конкретная функция , поэтому нужно выбрать только одно конкретное значение константы С, например, С = 0. Тогда

.

Вернемся в уравнение (1). Функция найдена нами так, что сумма подчеркнутых слагаемых обращается в ноль, а значит, из уравнения эти слагаемые исчезают. При этом вместо буквы v нужно подставить выражение : .

По ОДЗ исходного дифференциального уравнения , а значит, на него все уравнение можно сократить, после чего получится . Найдем

.

Заметим, что при нахождении функции константа С должна присутствовать обязательно. Теперь можно записать общее решение исходного дифференциального уравнения .

При каждом конкретном значении С получается конкретная функция, которая является решением дифференциального уравнения. А поскольку , то получается, что данное дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. На Рис. 1 изображены графики пяти частных решений при .

По условию задачи нам нужно найти решение, удовлетворяющее начальным данным . Геометрически это означает, что график этого решения должен проходить через точку . Чтобы найти это решение аналитически (т.е. его формулу), нужно в формулу общего решения подставить вместо буквы у число (-3), а вместо буквы х число 1. В результате получится одно уравнение с одним неизвестным С. В нашем примере это уравнение имеет вид: . Теперь нужно найденное значение С подставить в формулу общего решения:

.

График этого решения на Рис. 2 нарисован жирной линией.

С = -1.5 Рис. 2

Ответ. Решение задачи Коши – это функция .

§4. Дифференциальные уравнения 2 – го и 3 – го порядков

Сведения из теории

Рассмотрим дифференциальные уравнения более высоких порядков. Они получаются тогда, когда к зависимости от предъявляется больше требований. Общий вид уравнений 2 – го порядка . Общий вид уравнений 3 – го порядка .

4.1 Дифференциального уравнения 2 – го и 3 – го порядков, допускающие понижение порядка.

Дифференциальных уравнений 2 – го и 3 – го порядков много и решаются все они по-разному. Сейчас мы рассмотрим те из них, порядок которых можно понизить до первого.

Пример 20. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при с точностью до двух знаков после запятой.

; ; ; ; .

Решение . Очевидно, что . Сделаем замену . Тогда исходное дифференциальное уравнение 3 – го порядка относительно неизвестной функции примет вид - дифференциальное уравнение 1 – го порядка относительно неизвестной функции . Это и есть понижение порядка уравнения до первого. Решить его – это значит найти все функции , производные которых равны . А это значит найти неопределенный интеграл .

, где .

Начнем решать задачу Коши, вспомнив, что :

. Тогда .

Учитывая, что , опять сделаем замену: (можно даже не придумывать новую букву для замены). После замены получим новое дифференциальное уравнение 1 – го порядка: . Найдем его общее решение:

, где .

Продолжим решать задачу Коши, вернувшись от к :

.

Получим , следовательно, .
Третье интегрирование даст нам окончательное решение:

, где .

Закончим решение задачи Коши:

.

Наконец окончательное решение задачи Коши примет вид:

.

Вычислим на калькуляторе: .

Замечание. Возможно, схема решения станет более очевидной, если оформить ее короче.

,

Þ Þ

ß

,

Þ Þ

ß

,

Þ Þ .

Итак, функция, являющаяся решением данного дифференциального уравнения и удовлетворяющая указанным начальным данным найдена. Осталось найти её значение при х₀ = p.

Ответ: Решение задачи Коши – функция .

Поиск по сайту: