Интегрирование по частям. Ранее уже упоминалось, что нет единого правила интегрирования произведения функций

Ранее уже упоминалось, что нет единого правила интегрирования произведения функций. Однако есть метод, который позволяет проинтегрировать некоторые виды произведений. Это метод интегрирования по частям. Его формула имеет вид

.

Ещё раз подчеркнем, что изначально все интегралы даны в виде . Структуру для интегрирования по частям вы должны построить сами.

При интегрировании по частям нужно выполнить следующие действия:

1)часть подынтегральной функции обозначить как новую функцию и приготовить заготовку ;

2)то, что осталось от подынтегрального выражения, обозначить как дифференциал второй функции (которая, вообще-то, изначально неизвестна) и найти эту функцию по формуле

.

Методические указания:

1. В заготовках при вычислении функции в неопределенном интеграле берем константу .

2. Если подынтегральная функция является произведением многочлена на тригонометрическую функцию или многочлена на показательную функцию, то выгодно взять за функцию именно многочлен, т.к. он при дифференцировании упрощается. Тригонометрические и показательные функции не упростятся, сколько бы их ни дифференцировали или интегрировали.

3. Если подынтегральная функция содержит какую-то одну из обратных тригонометрических функций или логарифмическую функцию , то выгодно именно их выбрать в качестве функции , т.к. известно как их дифференцировать.

Действуя по принципу «Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать», переходим к примерам.

Пример 10.Найти интеграл .

Решение.

.

Пример 11. Найти интеграл .

Решение.

.

§2.Определенный интеграл

Сведения из теории

Понятие определенного интеграла возникло задолго до появления понятий производной, первообразной и неопределенного интеграла. Схема введения этого понятия достаточно проста.

Есть функция . Она определена и непрерывна на отрезке .

1. Этот отрезок произвольным образом разбивается на интервалов .

2. На каждом таком интервале произвольно выбирается точка . В ней вычисляется значение функции .

3. Затем строится интегральная сумма .

4. Далее разбиение отрезка равномерно измельчают, при этом количество интервалов возрастает, т.е. .

5. Последовательность разбиений порождает последовательность интегральных сумм . Если эта последовательность стремится к конечному пределу, то он и называется определенным интегралом. Символически это записывается так

.

Вычисление определенного интеграла по определению, т.е. как предел интегральных сумм, задача очень сложная. К счастью, гениальные математики прошлого Ньютон и Лейбниц установили связь определенного интеграла с первообразной для функции . Созданная ими формула известна всему образованному человечеству как формула Ньютона-Лейбница. Она имеет вид

.

Из формулы видно, что достаточно найти какую-то одну первообразную функцию для функции . Тогда её приращение и будет равно определенному интегралу.

2.1. Методы вычисления определенного интеграла

Следует подчеркнуть, что с технической точки зрения вычисление определенного интеграла мало чем отличается от вычисления неопределенного интеграла. Поэтому для нахождения первообразной используем все методы, описанные ранее для неопределенного интеграла.

Пример 12.Вычислить определенный интеграл . Результат записать в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой.

Решение. Найдем сначала неопределенный интеграл , используя метод подведения под знак дифференциала:

.

Вернемся к определенному интегралу. Для использования формулы Ньютона-Лейбница достаточно знать какую-то одну конкретную первообразную . Для простоты выберем ту, которая получается из неопределенного интеграла при , т.е. . Тогда

Ответ.

Замечание. Этот интеграл можно найти и с помощью замены переменной. Подчеркнем, что в определенном интеграле необязательно возвращаться к старой переменной . Для этого достаточно пересчитать пределы интегрирования для новой переменной. Решим таким образом предыдущий пример.

Пример 13.Вычислить определенный интеграл .

Решение.

Сведения из теории

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

Пример 14. Вычислить определенный интеграл . Результат записать в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой.

Решение. Подынтегральная функция является отношением двух разнотипных функций, поэтому определенный интеграл от нее можно взять только по частям.

2.2. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Прежде всего, плоская фигура должна быть задана аналитически. Это значит, что должны быть заданы функции, графики которых являются границами области . Чтобы получить представление об области , нужно нарисовать графики заданных функций. Далее, нужно найти абсциссу самых левых точек области и абсциссу самых правых точек области. Тогда для любой точки верно неравенство . Значения этих абсцисс и станут нижним и верхним пределами интеграла. Далее нужно найти формулу верхней границы и формулу нижней границы . При этом на всем отрезке должно выполняться неравенство (верхняя и нижняя границы не должны пересекаться). После выполнения этих шагов фигура может быть записана системой двух неравенств

Тогда ее площадь вычисляется по формуле

.

Замечание. Не нужно разбивать область на части, лежащие выше и ниже оси ОХ. Берется один интеграл от разности функций, задающих верхнюю и нижнюю границы.

Пример 15. Найти площадь плоской фигуры , ограниченной графиками
заданных функций: ; ; ; .

Решение. Прежде всего, следует нарисовать область .

Тогда площадь находится как определенный интеграл

Ответ .

Поиск по сайту: