Элементарная теория вероятностей

Пример 32. Преподаватель пришел принимать экзамен в группу своего заболевшего коллеги. Ему сообщили только, что в группе 25 студентов. Из них 5 отличников, которые сдают экзамен с вероятностью 0,95. Десять студентов «хорошисты», которые сдают экзамен с вероятностью 0,7, и остальные троечники, для которых вероятность сдачи составляет 40%. Преподаватель выбрал студента по ведомости наугад, методом «математического тыка». Выбранный студент экзамен сдал. Найти вероятность того, что экзамен сдавал «отличник».

Решение. Фактически преподаватель ставит случайный эксперимент. Построим его математическую модель. Введем случайные события. Первый уровень случайности – это выбор студента. Введем случайные события как три гипотезы: Н₁ – «отличник». Преподаватель студентов не знает, выбирает студента по списку, «вслепую». В такой ситуации естественно назначить вероятностью Р(Н₁)долю, которую отличники составляют от всех студентов, т.е. Р(Н₁)=5/25=0,2. Аналогично вводим гипотезы: Н₂ – «хорошист», следовательно, Р(Н₂)=10/25=0,4; Н₃ --«троечник», Р(Н₃)=10/25=0,4. Контрольная проверка – сумма вероятностей всех гипотез должна быть равна 1. Следующий уровень случайности – сдаст студент экзамен или нет. Формализуем этот уровень случайности, сформулировав случайное событие так: А – студент экзамен сдаст. По условию задачи известно, что это желанное событие может наступить одновременно с любой из введенных гипотез. В частности, известно, что, если наступила гипотеза Н₁,т.е. студент оказался отличником, то условная вероятность наступления события А равна Р(А/Н₁)=0,95. Известно также, что Р(А/Н₂)=0,7, а Р(А/Н₃)=0,4. Тогда теория вероятностей предписывает вычислять полную вероятность наступления события А по формуле

Р(А)= Р(Н₁)∙Р(А/Н₁)+ Р(Н₂)∙Р(А/Н₂)+ Р(Н₃)∙Р(А/Н₃)=

=0,2∙0,95+0,4∙0,7+0,4∙0,4=0,19+0,28+0,16=0,63

Итак, пусть случайно выбранный студент экзамен сдал. Однако, преподавателя терзают сомнения, а вдруг студент все списал. Он хочет оценить вероятность своей ошибки, пересчитав вероятность гипотезы Н₃. Теория вероятностей предписывает считать новую условную вероятность по формуле Байеса, а именно

. Для сравнения до опыта было Р(Н₃)=0,4. Очевидно, что вероятность, приходящаяся на гипотезу Н₃ , уменьшилась. Но 25% ошибки – это все-таки многовато.

Задания для контрольной работы №2

Задача 1. Найти неопределенные и определенный интегралы.

1.1	а)	б)
в)	г)
1.2	а)	б)
в)	г)
1.3	а)	б) ;
в)	г)
1.4	а)	б)
в)	г)
1.5	а)	б)
в)	г)
1.6	а)	б)
в)	г)
1.7	а)	б)
в) ;	г)
1.8	а)	б)
в)	г)
1.9	а)	б)
в)	г)
1.10	а)	б)
в)	г)

Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками заданных функций.

2.1		2.6
2.2		2.7
2.3		2.8
2.4		2.9
2.5		2.10

Задача 3. Решить дифференциальные уравнения 1-го порядка.

3.1	а)	б) ; ;
3.2	а) ;	б) ;
3.3	а) ;	б) ;
3.4	а) ;	б) ;
3.5	а) ;	б) ;
3.6	а) ;	б) ;
3.7	а) ;	б) ;
3.8	а) ;	б) ;
3.9	а) ;	б) ;
3.10	а) ;	б) ;

Задача 4. Решить дифференциальные уравнения 2-го и 3-го порядков.

a) Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при с точностью до двух знаков после запятой.

b) Найти общее решение дифференциального уравнения.

c) Найти общее решение дифференциального уравнения.

4.1	а) , , , ,
	б) ;	в)
4.2	а) , , , ,
	б) ;	в)
4.3	а) , , , ,
	б) ;	в)
4.4	а) ; ; ;
	б)	в)
4.5	а) , , , ,
	б)	в)
4.6	а) ; ; ;
	б)	в)
4.7	а) ; ; ;
		в)
4.8	а) , , , ,
	б)	в)
4.9	а) , , , ,
		в)
4.10	а) ; , , , .
	б)	в)

Задача 5.Исследовать на экстремум функцию.

5.1		5.6
5.2		5.7
5.3		5.8
5.4		5.9
5.5		5.10

Задача 6.Найти крутизну (угол в градусах) подъема функции в точке М₀ (х₀;у₀) в указанных направлениях:

1) параллельно оси ОХ;

2) параллельно оси ОУ;

3) параллельно биссектрисе первого координатного угла;

4) параллельно биссектрисе четвертого координатного угла;

5) в направлении градиента.

6.1	, М0 ( 5;1 )	6.6	, М0 ( -2 ; 1 )
6.2	, М0 (-2;3 )	6.7	, М0 ( 2 ; 0 )
6.3	, М0 ( 1;2 )	6.8	, М0 ( 4 ; -1 )
6.4	, М0 ( 4;2 )	6.9	, М0 ( -2 ; 3 )
6.5	, М0 ( 1;1 )	6.10	, М0 ( 6 ; -2 )

Поиск по сайту: