Замена переменной (или подведение под знак дифференциала)

Сведения из теории

Вспомним правило дифференцирования сложной функции.

Пусть дана сложная функция . Ее производная функция вычисляется по формуле . Из формулы видно, что сначала вычисляется производная внешней функции , а потом эта производная умножается на производную внутренней функции .

Вернемся к задаче интегрирования. Как правило, искомый интеграл всегда дается в виде . Вы сами должны увидеть, имеет ли подынтегральная функция структуру или, хотя бы, близкую к ней. Если Вы эту структуру увидели, то Вы поняли, какую формулу имеет внутренняя функция . После этого Вы обозначаете внутреннюю функцию как новую переменную . Тогда . Нельзяпросто механически заменить символ на символ . Предварительно найдем дифференциал новой переменной : . Теперь в исходном интеграле можно перейти к новой переменной интегрирования.

.

Замечание В учебной литературе этот процесс замены переменной часто называется подведением под знак дифференциала. Поясним смысл этого названия. Пусть увидели в интеграле нужную структуру, т.е.

.

По определению произведение вида равно дифференциалу функции , т.е. . Тогда процесс замены переменной интегрирования будет выглядеть так:

Образно говоря, производная перемещается вправо за символ , превращаясь при этом в свою первообразную , и становится новой переменной интегрирования вместо . В этом и заключается подведение под знак дифференциала.

Пример 5.Найти интеграл .

Решение. Выделим нужную структуру . Замена . Заготовка . После подстановки в искомый интеграл получаем

.

Ответ. .

Пример 6. Найти интеграл .

Решение. Единственный табличный интеграл, содержащий показательную функцию, это интеграл . Чтобы прийти к нему, сделаем замену . Вычислим . Подставим в искомый интеграл:

.

Ответ.

Пример 7. Найти интеграл .

Решение. Имеем табличный интеграл . В искомом интеграле обозначим . Подготовим . После подстановки в искомый интеграл получим

.

Ответ. .

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Будем ориентироваться на табличный интеграл

.

В нем аргумент синуса и переменная интегрирования должны быть абсолютно одинаковыми. В искомом интеграле изменить аргумент синуса мы не можем. Значит надо сделать так, чтобы переменной интегрирования стал . Выясним, что мы должны иметь, чтобы написать : . В искомом интеграле умножим числитель и знаменатель на 2 и выполним цепочку преобразований:

Ответ. .

Пример 9. Найти интеграл .

Решение. В таблице имеем интеграл . Попытаемся искомый интеграл свести к данному табличному. Не будем изменять знаменатель. Сделаем замену переменной, обозначив . Вычислим формулу, выражающую дифференциал новой переменной t через дифференциал старой переменной х: . Тогда . Подставим все заготовки в искомый интеграл.

Ответ. .

Проанализируем полученный результат. Первообразная осталась та же, что и в табличном интеграле – натуральный логарифм модуля. Логарифмируемое выражение совпало со знаменателем в искомом интеграле. Перед первообразной функцией добавился сомножитель обратный коэффициенту при х.

Все это является проявлением общего правила, полученного на основе замены переменной.

Пусть известно, что (как правило, из таблицы интегралов). Тогда .

Из него, в частности, следует расширение таблицы интегралов:

1. , если .	6.
2.	7.
3.	8.
4.	9.
5.	10.

Применение этого правила можно видеть на следующих примерах:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Поиск по сайту: