Аналитический сигнал. Преобразование Гильберта, его основные свойства

Часто узкополосные сигналы удобнее представлять в комплексной форме. Для упрощения анализа узкополосных сигналов в радиотехнике используется понятие и математическая запись аналитического сигнала.

Произвольный сигнал s(t) с известной спектральной плотностью S(ω) можно записать как сумму двух составляющих, каждая из которых содержит или только положительные, или только отрицательные частоты.

Назовем функцию аналитическим сигналом, отвечающим вещественному колебанию s(t).

Cвязь между сигналами s(t) и z_s(t):

или .

Мнимая часть аналитического сигнала называется сопряженным сигналом по отношению к исходному колебанию s(t).

Итак, аналитический сигнал

на комплексной плоскости отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось в любой момент времени равна исходному сигналу s(t).

Введение аналитического и сопряженного сигналов, безусловно, не позволяет получить каких-либо новых сведений, которые не содержались бы в математической модели сигнала s(t). Однако эти новые понятия открывают прямой путь к созданию систематических методов исследования узкополосных колебаний.

Исследуем спектральную плотность аналитического сигнала, т.е. функцию Z_s(ω), связанную с z_s(t)-преобразованием Фурье:

. Эта функция отлична от нуля лишь в области положительных частот:

. Если – спектральная плотность сопряженного сигнала, то в силу линейности преобразования Фурье .

Спектральные плотности исходного и сопряженного сигналов связаны между собой следующим образом

(1).

Абстрактно можно представить себе такой способ получения сопряженного сигнала: исходное колебание s(t) подается на вход некоторой системы, которая осуществляет поворот фаз всех спектральных составляющих на угол -90˚ в области положительных частот и на угол 90˚ в области отрицательных частот, не изменяя их по амплитуде. Систему, обладающую подобными свойствами, называют квадратурным фильтром.

Преобразование Гильберта.

Формула (1) показывает, что спектральная плотность сопряженного сигнала есть произведение спектра S(ω) исходного сигнала и функции –jsgn(ω). Поэтому сопряженный сигнал представляет собой свертку двух функций: s(t) и f(t), которая является обратным преобразованием Фурье по отношению к функции –jsgn(ω).

Сопряженный сигнал связан с исходным сигналом соотношением

.

Данное выражение известно в математике под названием прямого преобразования Гильберта. Обратное преобразование Гильберта выглядит следующим образом:

.

Функция 1/(t-τ) называется ядром этих преобразований и имеет разрыв приu τ= t.

С помощью физического и сопряженного по Гильберту сигналов легко определить огибающую U_s(t), полную фазу ψ_s(t) и мгновенную частоту ω_s(t)сигнала s(t):

В точках соприкосновения сигнал и его огибающая не только совпадают, но и имеют одинаковые скорости изменения. Все это оправдывает название огибающей для функции .

Поскольку аналитический сигнал является комплексной функцией, то на комплексной плоскости он отражается вектором, вращающимся против часовой стрелки с некоторой опорной частотой ω₀, при этом его модуль и фазовый угол изменяются во времени. Проекцией аналитического сигнала на вещественную ось в любой момент времени равна физическому сигналу .

Свойства преобразований Гильберта.

1. Линейность:

при любых постоянных а₁ и а₂.

2. Ядро преобразования Гильберта есть нечетная функция аргумента τ относительно точки τ= t, а, значит, сигнал, сопряженный к константе, тождественно равен нулю

(10.17).

3. Важное свойство преобразования Гильберта состоит в следующем: если при каком-либо t исходный сигнал s(t)

Поиск по сайту: