Свойства преобразований Фурье

1. Свойство линейности.

Если имеется некоторая совокупность сигналов s₁(t), s₂(t),…, причем s₁(t)↔S₁(ω), s₂(t)↔S₂(ω),…, то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом: , a_i – произвольные числовые коэффициенты.

2. Теорема запаздывания:

Предположим, что для сигнала s(t) известно соответствие s(t)↔S(ω). Рассмотрим такой же сигнал, но возникший на t₀ позднее :

Модуль комплексного числа при любых t₀ равен единице, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена в частотной зависимости аргумента его спектральной плотности (фазовом спектре).

3. Изменение масштаба по оси времени:

Рассмотрим сигнал , умножение времени t на постоянный коэффициент a эквивалентно изменению масштаба времени.

Таким образом, уменьшение длительности импульса любой формы в a раз сопровождается расширением его спектра во столько же раз, и наоборот.

4. Дифференцирование сигнала:

Пусть , тогда: , - оператор дифференцирования.

Таким образом, дифференцирование сигнала эквивалентно умножению его спектра на . При дифференцировании увеличиваются высокочастотные составляющие спектра.

5. Интегрирование сигнала:

Пусть , тогда:

Следовательно, интегрирование сигнала эквивалентно делению его спектра на величину . При интегрировании высокочастотные составляющие спектра ослабляются в больше степени, чем низкочастотные.

6. Теорема о свертке:

Рассмотрим сигнал, являющийся сверткой двух сигналов ( ):

Найдем спектр такого сигнала:

,

Следовательно, спектр свертки двух сигналов равен произведению их спектров.

7. Спектр произведения сигналов:

Вследствие взаимной обратимости частоты и времени спектр сигнала, равный произведению двух сигналов должен представлять собой свертку их спектров:

8. Теорема Релея:

Скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.

9. Равенство Парсеваля:

Равенство Парсеваля утверждает, что энергия, заключенная в сигнале s(t), равна сумме энергий всех составляющих его спектра.

Равенство Парсеваля характеризует важное свойство сигналов. Если некоторая избирательная система пропускает только часть спектра сигнала, ослабляя другие его составляющие, то это означает, что часть энергии сигнала теряется.

Энергия сигнала есть результат интегрирования энергетического спектра сигнала по всему диапазону частот от -∞ до ∞. Иначе говоря, энергия равна площади, заключенной между кривой, изображающей энергетический спектр сигнала, и осью абсцисс.

Поиск по сайту: