Энергия и импульс световых квантов

Й семестр «Квантовое ядро»

Лекція 37.

Корпускулярно-хвильова природа свiтлового випромiнювання.

Проблеми випромiнювання абсолютно чорного тiла. Гiпотеза Планка. Пiрометрiя.

КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВАЯ ПРИРОДА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Проблемы излучения абсолютно черного тела

Основные определения

Электромагнитное излучение, возникающее за счет внутренней энергии излучающего тела и зависящее только от температуры и оптических свойств тела, называется тепловым излучением.

Тепловое излучение является равновесным. Поместим в замкнутую адиабатическую оболочку несколько тел с различными температурами. В соответствии со вторым началом термодинамики в такой системе начнут протекать процессы, которые приведут к выравниванию температур тел. Эти процессы состоят в испускании и поглощении электромагнитного излучения телами, находящимися внутри полостей не прекращаются после достижения термодинамического равновесия. Это может быть лишь в том случае, если между телом и излучением устанавливается равновесие: сколько энергии излучает тело, столько же ее оно и поглощает.

Введем некоторые количественные характеристики теплового излучения.

Испускательной способностью тела называется количество энергии, испускаемой за единицу времени с единицы площади в единичном интервале частот:

.

(1)

Спектральной плотностью излучения называется количество энергии электромагнитного излучения, приходящегося на единичный интервал частот и сосредоточенного в единичном объеме:

.

(2)

Поскольку тепловое излучение является равновесным, то между испускательной способностью тела и спектральной плотностью излучения должна существовать пропорциональная зависимость r(n,T)~u(n,T). Для абсолютно черного тела эта зависимость имеет вид

(3)

Интегральной испускательной способностью (энергетической светимостью) называется количество энергии, испускаемой за единицу времени с единицы площади во всем интервале частот от 0 до ∞. Между интегральной испускательной способностью R_э(Т) и испускательной способностью r(n,T) существует связь.

(4)

Поглощательной способностью тела называется отношение поглощенной энергии ко всей падающей на тело энергии в интервале частот от n до n+dn:

Рис.1.

Абсолютно черным телом (АЧТ) называется такое тело, поглощательная способность которого для всех частот и температур равна единице: a(n,T)=1. Моделью АЧТ может служить небольшое отверстие, вырезанное в полой сфереиз непрозрачного вещества (рис. 1). Луч света, попадая через такое отверстие внутрь полости, испытывает многократные отражения и практически полностью поглощается.

Рис. 2.

Серым называется такое тело, поглощательная способность которого меньше единицы, но постоянна для всех частот и температур (рис.2). У цветного тела поглощательная способность является функцией частоты и температуры.

Закон Кирхгофа

Кирхгоф установил закон, согласно которому отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности не зависит от природы тела и является универсальной функцией от частоты и температуры:

.

(5)

Для АЧТ поглощательная способность равна единице, поэтому для такого тела испускательная способность совпадает с универсальной функцией

(6)

Пусть адиабатическая полость, внутренние стенки которой являются АЧТ, заполнена равновесным тепловым излучением. Выделим на поверхности полости участок площадью dS и подсчитаем для него баланс энергии. С этого участка излучается энергия r*(n,T)dS, где r*(n,T) — испускательная способность АЧТ. Для сохранения термодинамического равновесия столько же энергии должно поглощаться.. Поскольку для АЧТ a(n,T) = 1, то со стороны других участков на выделенный должна падать энергия, равная r*(n,T)dS.

Заменим теперь выделенный участок стенки полости некоторым произвольным телом, у которого испускательная способность равна r_i(n,T), а поглощательная а_i(n,T)<1. Составим теперь баланс энергии для этого случая. Как и в первом случае, на этот участок будет падать энергия r*(n,T)dS, часть которой а_i(n,T)r*(n,T)dS, будет поглощаться; излучаться же будет энергия, равная r_i(n,T). Поскольку процесс равновесный, то

откуда

(7)

Формула (29.7) справедлива для любого тела — тем самым закон Кирхгофа доказан.

Законы излучения АЧТ

Рис. 3

Основная проблема изучения АЧТ - определение вида функции r*(n,T). Эксперименты позволили найти эту зависимость и сформулировать некоторые частные законы излучения АЧТ. Экспериментальные зависимости r*(n,T) для двух значений температуры показаны на рис. 3. Видно, что излучательная способность АЧТ падает при малых и больших частотах и достигает максимума при некотором значении n_m. С ростом температуры излучательная способность возрастает, а ее максимальное значение смещается в область больших частот.

Сформулируем частные законы излучения АЧТ.

1. Закон Стефана - Больцмана. Интегральная испускательная способность АЧТ пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры, т.е.

.

(8)

где s — постоянная Стефана - Больцмана.

2. Закон смещения (Вина). Частота, на которую приходится максимум испускательной способности АЧТ, пропорциональна его абсолютной температуре:

,

(9)

где b — постоянная Вина.

Закон Вина устанавливает положение максимума кривой r*(n,T) с повышением температуры максимум смещается в область более высоких частот.

3. Высота максимума кривой r*(n,T). Она устанавливается следующим законом (иногда его называют вторым законом Вина): максимальная испускательная способность АЧТ пропорциональна кубу его абсолютной температуры:

(10)

где с — постоянная.

Эти законы, однако, не дают возможности воспроизвести явный вид функции r*(n,T). Для нахождения вида этой функции Д. Релей и Д. Джине воспользовались классическим законом распределения энергии по степеням свободы (§ 9.3) и получили следующее выражение для испускательной способности АЧТ:

(11)

где c — скорость света; k — постоянная Больцмана.

Формула Релея – Джинса (11) хорошо согласуется с опытом в области малых частот, однако в области больших частот эта формула резко расходится с экспериментом (пунктирная линия на рис. 3). Такое несоответствие теории и эксперимента получило название ультрафиолетовой катастрофы.

Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить закономерности теплового излучения АЧТ. Причина этого состоит в принципиальной неприменимости законов классической физики к элементарным процессам, обусловливающим тепловое излучение.

4. Формула Планка. В 1900 г. М. Планк высказал гипотезу, что процесс испускания и поглощения света происходит не непрерывно, а определенными порциями (квантами), энергия которых определяется формулой

(12)

где h = 6,62·10^-34 Дж·с — универсальная константа, называемая постоянной Планка.

С помощью таких квантовых представлений о природе излучения Планк нашел функцию распределения энергии излучения АЧТ по частотаv (см. прил. 6):

(13)

которая очень точно воспроизводит экспериментальную кривую r*(n,T).

С помощью формулы Планка (29.13) можно объяснить все закономерности излучения АЧТ, установленные ранее. В частности, в области низких частот, когда hn/kT<<1, можно приближенно представить экспоненту в (29.13) в виде

(14)

Подставив (14) в (13), получим формулу Релея – Джинса.

Закон Стефана – Больцмана можно получить из формулы Планка, проинтегрировав выражение (13) по частоте в пределах от 0 до ∞:

Для вычисления интеграла сделаем замену hn/kT=x; отсюда n=kTx/h, dn=kTdx/h. Тогда

Мы получили закон Стефана – Больцмана, причем постоянная

Закон смещения Вина можно получитьиз формулы Планка, приравняв первую производную по частоте к нулю:

Взяв производную, получим

где

(15)

Полученное уравнение решается методом последовательных приближений и имеет единственный корень x = 2,821. Из формулы (15) следует

(16)

т.е. мы получили закон Вина с постоянной b;

И наконец, второй закон Вина получим, если подставим (16) в формулу Планка:

5. Пирометрия. Раздел технических приложений, использующих закономерности теплового излучения для измерения температуры нагретых тел, называется пирометрией. Пирометры — это приборы для измерения температуры нагретых тел по интенсивности их теплового излучения. Основное условие применимости методов пирометрии состоит в том, что тело, температуру которого измеряют с помощью пирометра, должно находиться в тепловом равновесии и обладать поглощательной способностью, близкой к единице.

Различают яркостные, цветовые и радиационные пирометры.

В простейшем визуальном яркостном пирометре с исчезающей нитью объектив фокусирует изображение исследуемого тела на плоскость, в которой расположена нить (ленточка) специальной лампы накаливания. Через окуляр и красный фильтр нить рассматривают на фоне изображения тела и, изменяя ток накала нити, добиваются, чтобы яркости нити и тела были одинаковы (нить становится неразличимой на фоне тела). Шкалу прибора, регистрирующего ток накала, градуируют обычно в градусах Цельсия или Кельвина, и в момент выравнивания яркостей нити и тела прибор показывает так называемую яркостную температуру тела Tя.

Для измерения температуры тел, которые в оптическом диапазоне являются серыми, применяют цветовые пирометры. Этими пирометрами измеряют яркость тела в двух областях спектра — синей и красной (например, lc = 0,48 мкм и lкр= 0,60 мкм). Шкала прибора градуирована в °С и показывает цветовую температуру Tц.

Наиболее чувствительны радиационные пирометры, регистрирующие суммарное излучение тела. Действиеих основано на законах Стефана –Больцмана и Кирхгофа. Объектив радиационного пирометра фокусирует наблюдаемое излучение на приемник, сигнал от которого регистрируется прибором, калиброванным по излучению АЧТ и показывающим радиационную температуру Tр. В качестве приемника используют либо термостолбик (батарею последовательно соединенных термопар), либо болометр, действие которого основано на уменьшении сопротивления полупроводников при их нагреве.

Измеряемые с помощью пирометров температуры (яркостная Tя, цветовая Tц, или радиационная Tр) пересчитываются на основании законов теплового излучения в истинную. Например, истинная T и радиационная Tр температуры связаны соотношением

где a_T — поглощательная способность тела.

Методами пирометрии измеряют температуру в печах и других нагревательных установках, температуру расплавленных металлов, нагретых газов, племени, плазмы. Их широко используют в автоматизированных системах контроля и управления температурными режимами разнообразных технологических процессов.

Лекція 38.

Зовнiшнiй фотоефект. Енергiя i iмпульс свiтлових квантiв. Ефект Комптона. Свiтловий тиск.

Внешний фотоэффект

Явление взаимодействия электромагнитного излучения с веществом, при котором энергия передается непосредственно электронам вещества, и они выходят в окружающее пространство, называется внешним фотоэффектом.

Экспериментально были установлены следующие закономерности фотоэффекта:

1) максимальная энергия фотоэлектронов не зависит от интенсивности света;

2) максимальная энергия фотоэлектронов пропорциональна частоте падающего света;

З) число фотоэлектронов пропорционально интенсивности света;

4) существует некоторое пороговое значение частоты n0 которое называется красной границей фотоэффекта – при частоте света n<n0 фотоэффект прекращается;

5) фотоэффект практически безынерционен.

Эти закономерности не могли быть объяснены с точки зрения волновой природой света. По этой теории энергия фотоэлектронов должна быть пропорциональна интенсивности падающего света, а красной границы вообще не должно было существовать.

Правильная теория фотоэффекта была дана А. Эйнштейном (1905 г.), который исходил из корпускулярных представлений о природе света. Согласно А. Эйнштейну явление фотоэффекта представляет собой неупругое соударение кванта света (фотона) с одним из электронов вещества, в результате которого электрон, получивший избыточную энергию, может выйти за пределы вещества. Закон сохранения энергии в этом процессе описывается уравнением Эйнштейна.

(17)

где hn — энергия фотона; А — работа выхода электрона из вещества.

Из уравнения (17) видно, что mv²/2 ~ n, тем самым объясняется вторая закономерность фотоэффекта. Существование красной границы фотоэффекта объясняется тем, что по мере уменьшения частоты падающего света уменьшается также кинетическая энергия электронов и при некоторой частоте n=n₀ mv²/2=0 фотоэффект прекращается.

Пороговою частоту n₀ можно найти из условия hn₀=A откуда,

Интенсивность света определяется соотношением I=Nhn где N— число квантов света и поэтому с ростом интенсивности света возрастает число актов взаимодействия фотонов с электронами (и растет число вылетевших электронов (но не их энергия). Этим объясняется первая и третья закономерноcти фотоэффекта.

Уравнение (17) описывает так называемый однофотонный фотоэффект, когда электроном поглощается лишь один фотон (вероятность одновременного поглощения электроном двух и более фотонов ничтожно мала). В связи с созданием мощных источников монохроматического излучения (лазеров), был обнаружен многофотонный фотоэффект. В этом случае электрон может одновременно поглотить не один, а несколько фотонов. Уравнение Эйнштейна для многофотонного фотоэффекта принимает вид

При этом пороговая частота сдвигается в область малых частот.

Явление внешнего фотоэффекта находит широкое применение в технике для преобразования световых сигналов в электрические с последующей их обработкой. Рассмотрим основные типы фотоэлектрических приборов, использующих внешний фотоэффект.

1. Вакуумные фотоэлементы — это фотокатод (чаще всего из щелочного металла) и анод, помещенные в прозрачную колбу, в которой создается высокий вакуум. Преимущества этих фотоэлементов следующие: строгая пропорциональность между силой фототока и световым потоком; малая инерционность (t~10^-9…10^-10 с); отсутствие усталостных явлений; высокое внутреннее сопротивление. Основной недостаток — невысокая чувствительность ~1…10 мкА/лм. Область применения — точные измерения световых потоков в лабораторных условиях.

2. Газонаполненные фотоэлементы отличаются от вакуумных тем, чтоих баллов заполняется инертным газом при невысоком давлении (P»0,1…1 Па).

При прохождении через газ фотоэлектронов последние ионизируют его молекулы, что приводит к возрастанию тока и несколько более высокой чувствительности ~10…100 мкА/лм. Газонаполненные фотоэлементы также обладают строгой пропорциональностью между световым потоком и силой тока, а их инерционность (t~10^-9…10^-10 с) достаточна для большинства практических применений. Вследствие протекания необратимых процессов адсорбции газа-наполнителя стабильность их работы несколько ниже, чем у вакуумных фотоэлементов.

3

Рис. 4

3. Фотоэлектронные умножители (рис. 4). В этих приборах для усиления фототока используется явление вторичной электроннойэмиссии, которое состоит в выбивании из металла вторичных электронов при его бомбардировке ускоренными электронами. При попадании света на фотокатод К из него выбиваются электроны, которые ускоряются электри­ческим полем при движении к электроду Э1, заряженному положительно, и выбивают из него вторичные электроны. Далее этот процесс повторяется на следующих электродах Э2-ЭN и в результате в цепи анода возникает значительный ток. Чувствительность фотоумножителей весьма велика и составляет 0,1...1 А/лм. Их недостатки: сложность конструкции и необходимость использования высоких напряжений (U ~ 1…1,5 кВ). Область применения — регистрация очень слабых световых потоков.

Энергия и импульс световых квантов

По современным представлениям световой квант отождествляется с элементарной частицей — фотоном, который существует, лишь двигаясь со скоростью света. Как и всякий материальный объект, фотон обладает энергией, которая связана с его массой соотношением Эйнштейна (21). Энергию фотона можно также найти по формуле Планка (12). Приравнивая (21) к (12), находим массу фотона

(18)

Следует отметить, что поскольку фотон существует лишь двигаясь со скоростью света, его масса покоя равна нулю: m0 = 0.

Фотон обладает импульсом, величина которого определяется формулой

(19)

или с учетом того, что n=c/l,

(20)

Эффект Комптона

Наиболее наглядное представление о фотоне как частице проявляется в эффекте Комптона, который состоит в том, что при взаимодействии фотона со свободным (или слабо связанным с атомом) электроном фотон отдает часть своей энергии электрону. При этом получается рассеянный фотон, импульс которого составляет угол q с направлением первоначального двоения.

Свои опыты А. Комптон проводил в 1923 г., изучая прохождение монохроматических рентгеновских лучей через вещество. Как показали опыты, рассеяние рентгеновских лучей происходит с изменением их длины волны, независящим от природы рассеивающего вещества и определяющимся только углом рассеяния. Этими особенностями комптоновское рассеяние принципиально отличается от классического (рэлеевского) рассеяния, которое, как известно, происходит без изменения длины волны.

Все особенности эффекта Комптона можно объяснить в рамках квантовой теории, рассматривающей процесс взаимодействия фотона со свободными электронами как упругое соударение.

На рис. 5 показана импульсная диаграмма взаимодействия фотона и электрона. Предположим, что до соударения с фотоном электрон покоился, так что его импульс p=mv =0, а энергия равна энергии покоя W0=m0c². Применим к рассматриваемому процессу законы сохранения импульса и энергии:

(21)

Рис. 5

Здесь и — импульсы фотона до и после взаимодействия с электроном. После соударения с фотоном энергия электрона становится равнойmc², где масса движущегося электрона

а его импульс p=mv.

В уравнениях (21) применены релятивистские выражения для энергии и импульса электрона, поскольку рентгеновские фотоны, которые использовались в опытах Комптона, сообщали электронам релятивистские скорости.

Опуская громоздкие математические выкладки, напишем сразу конечный результат, который следует из (21):

(22)

Здесь Dl=l¢-l — изменение длины волны фотона при его рассеянии на электроне на угол q. Величина L=h/m0c называется комптоновской длиной волны электрона.

Из (22) видно, что максимальное изменение длины волны фотона наблюдается при его рассеянии назад (q=180^о). В этом случае фотон отдает электрону максимально возможную часть своей энергии.

Результаты измерений Комптона находятся в полном соответствии с формулой (22).

Лекція 39.

Модель атома Бора-Резерфорда.

Поиск по сайту: