Для одномерных объектов при отсутствии случайных помех наиболее подходит модель в виде степенного полинома
, (3.6)
хотя могут быть и другие модели.
Степень полинома ориентировочно определяется по разности ординат экспериментально полученной зависимости у = ƒ(х) и при постоянных приращениях аргумента ∆х = const.
При неизменных разностях между ординатами модель описывается полиномом первой степени:
.
При неизменных разностях между разностями второго порядка – полиномом второй степени и т. д.:
.
Оптимальной считается модель, у которой при полученных в результате эксперимента коэффициентах ai и степени n минимальна сумма квадратов отклонений расчетных значений ур от экспериментальных значений уэ. Записывается в виде
(3.7)
или
,
где N – число опытов.
Коэффициенты модели определяются из системы уравнений типа частных производных:
. (3.8)
Для упрощения расчетов по системе (3.8), во – первых, за начало отсчета аргумента принимается середина интервала экспериментальных данных xК (x1, xК xN). Во – вторых, отсчет аргумента ведут в относительных единицах и для расчета берут симметричные значения xК (0, – 1,+1, – 2,+2 и т. д.). В этом случае все суммы нечетных степеней функционала (3.7) равны нулю, упрощается система (3.8), упрощается расчет коэффициентов. При этом у также можно брать в относительных единицах.
Например, имеем модель
.
Получены экспериментальные значения у и х. Требуется определить коэффициенты а0, а1, а2. Записываем функционал (3.7) для экспериментальных данных
и находим его частные производные по неизвестным коэффициентам:
,
,
.
Так как суммы нечетных степеней х равны нулю по условию эксперимента, то рассматриваем скобки и получаем систему:
, .
, , .
.
При этом произведение уэк× хэк2 не сокращается, так как уэк в симметричных точках хэк может быть различно.
Решение системы относительно коэффициентов а0, а1, а2 имеет вид
,
, .
Модель получена (определена).
На практике бывают и другие полиномы с отрицательными и дробными степенями, например, у = а0 + а1 х +а2 х – 1.
Обобщенная модель степенного полинома:
, (3.9)
где n – количество членов номинала – целое число;
mi – целое или дробное число любого знака.
Если при равных приращениях хэ величина уэ растет примерно в геометрической прогрессии, то применяют модели вида
или .
Такая же модель у = авх получается, если для хэ и уэ наблюдается линейная зависимость между хэ и lg уэ, т.к. из уравнения модели имеем
lg уэ = lg a + хэ lg в.
Во всех случаях критерием оптимальности модели служит минимум суммы квадратов отклонений.