Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов

Пусть дан знакопеременный ряд.

Признак Даламбера. Если существует предел , то при r<1 данный ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1 - расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Признак Коши. Если существует предел , то при r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Практическое занятие №30

Наименование занятия: Нахождение области сходимости степенного ряда.

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

Цель занятия:Научиться находить область сходимости степенных рядов, раскладывать элементарные функции в ряд Маклорена.

Подготовка к занятию:Повторить теоретический материал по теме «Теория рядов».

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

1. Найти области сходимости степенных рядов

Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5

1. Разложить в ряд Маклорена функции

Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Дать определение степенного ряда, области сходимости степенного ряда.
2. Как найти область сходимости ряда?
3. Какой ряд называется рядом Маклорена?
4. Как разложить функцию в ряд Маклорена?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Степенные ряды

Степенным рядомназывается ряд вида

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1: ряд сходится по признаку Лейбница

При х = -1: ряд расходится (гармонический ряд).

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при x = x₁ , то он сходится и притом абсолютно для всех .

Следствие. Если при х = х₁ ряд расходится, то он расходится для всех .

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

Пример 2. Найти область сходимости ряда

Решение. Находим радиус сходимости ряда

.

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

Теорема. Если степенной ряд сходится для положительного значения х=х₁ , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри .

Поиск по сайту: