Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен сводится к выделению полного квадрата из квадратного трехчлена.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Выделим их квадратного трехчлена полный квадрат:

. Тогда

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Т.к. , , то

Интегрирование рациональных дробей

Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Правильную дробь разложим на простейшие дроби.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция является неправильной дробью, поэтому сначала выделим её целую часть делением многочлена на многочлен:

;

Тогда

Правильную дробь разложим на простейшие дроби и найдём коэффициенты A, B, C.

приведя правую часть равенства к общему знаменателю и отбросив последний, имеем:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов A, B, C.

Таким образом,

Подставив получившееся разложение в заданный интеграл, получим:

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби и найдем неопределенные коэффициенты.

Тогда значение заданного интеграла будет равно:

Практическое занятие №19

Наименование занятия: Интегрирование иррацио­нальных функций.

Универсальная подстановка

Цель занятия:Научиться вычислять неопределенные интегралы от рациональных и иррациональных функций.

Подготовка к занятию:Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной».

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

Поиск по сайту: