Случай прямоугольной области

Двойной интеграл по прямоугольной области вычисляется по формулам:

(1)

(2)

Пример 1. Вычислить двойной интеграл , где

Решение. В соответствии с формулой (1) запишем . Вычислим внутренний интеграл, считая переменную х постоянным числом: . Затем вычисляем внешний интеграл по переменной х: .

Таким образом,

Случай криволинейной области

Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области G, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и j £ y, тогда

(3)

Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области G, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y) (F(y) £ Y(y)), то

(4)

Пример 2. Вычислить интеграл , если область G ограничена линиями: y = 0, y = x², x = 2.

Решение. Построим область G и вычислим интеграл по формуле (3)

y

G

0 2 x

=

Пример 3. Вычислить интеграл , если область G ограничена линиями

y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

Решение. Построим область G и вычислим интеграл по формуле (4)

y

y = x

G

0 x

Практическое занятие №25

Наименование занятия: Приложения двойных интегралов

Цель занятия:Научиться применять двойные интегралы к вычислению площадей фигур.

Подготовка к занятию:Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных».

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

Используя двойной интеграл, вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
	ху = 4, у = х, х = 4	у = х2, 4у = х2, у = 4	у2 = 4 + х, х + 3у = 0	ху = 4, у =2, х = 1	y = x2 – 2x, y = x
	, , у = 3, у = 4	, , у = 2, у = 5	, , у = 2, у = 7	, , у = 1, у = 6	, , у = 3, у = 8
	х = 8 – у2, х = –2у	х = 5 – у2, х = –4у	у = 20 – х2, у = –8х	у = 32 – х2, у = –4х	у = 11 – х2, у = –10х
	, , х = 9	, , х = 4	, , х = 16	, , х = 16	, , х = 9
	,	, х = 0	,	,	х = 0

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Как вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Геометрические приложения двойных интегралов

Вычисление площадей в декартовых координатах

y

y = j(x)

S

y = f(x)

a b x

Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y² = 4x + 4; x + y – 2 = 0.

Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

S =

Поиск по сайту: