Интегрирование по частям в определенном интеграле

Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Выбор u и dv осуществляется также как и в неопределенном интеграле.

Пример 3.

Решение. Выполним замену. Положим , ; тогда , . Подставив в формулу интегрирования по частям, получим

.

Практическое занятие №21

Наименование занятия: Решение прикладных задач с помощью

Определенного интеграла

Цель занятия:Научиться вычислять определенные интегралы, находить площади фигур, ограниченных линиями.

Подготовка к занятию:Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной».

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

ВАРИАНТ 1

1. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 8 см, если для сжатия ее на 1 см нужно приложить силу в 10 Н.

2. Скорость движения точки меняется по закону v = 4t – t², где v – скорость, м/с; t – время, с. Вычислить: путь, пройденный точкой за третью секунду движения; путь, пройденный точкой за промежуток времени [0; 6].

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) y = x² – 8x + 16; y = 6 – x

2) х = -3, х = – 1, осью абсцисс

3) у = х² – 2 (х≥0), у = – 1, у = 7, х = 0

4. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу кубической параболы в пределах от у = 1 до у = 8

ВАРИАНТ 2

1. Вычислить работу, совершенную при растяжении пружины на 6 см, если длясжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н.

2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v = 6t²– 4t – 10, см/с. Вычислить: путь, пройденный точкой за первые 4 секунды движения; путь, пройденный точкой за четвертую секунду движения.

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) y = x² – 6x + 9; 3x – y – 9 = 0

2) ,

3) , у = 1, у = 0, х = 0

4. Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси Ох трапеции, образованной прямыми , х = 4, х = 6 и осью абсцисс

ВАРИАНТ 3

1. Вычислите работу, совершаемую при сжатии пружины на 0,05 м, если для ее сжатия на 0,02 м нужна сила в 10 Н.

2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v = 3t² – 2t – 1, м/c. Вычислить: путь, пройденный точкой за 5 секунд после начала движения; путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) y = – x² + 6х – 5, y = 0;

2) y² = x, y = x²

3) у = 16х³, у = 2, осью ординат

4. Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси Оу трапеции, образованной прямыми у = 3х, у = 2, у = 4 и осью ординат

ВАРИАНТ 4

1. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 6 см, если для растяжения ее на 1 см нужно приложить силу в 10 Н.

2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v=24t – 6t²¸ м/с. Вычислить: путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки; путь, пройденный точкой за вторую секунду движения.

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) у = х² + 1, у = 2х + 9, х = 0, у = 0

2) , , х = 1

3) x + 2y - 8 = 0, у = 1, у = 3

4. Криволинейная трапеция, ограниченная гиперболой и прямыми х = 3, х = 12 вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

ВАРИАНТ 5

1. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила 1 Н растягивает ее на 1 м.

2. Скорость движения точки меняется по закону v = 4t – t², где v – скорость, м/с; t – время, с. Вычислить: путь, пройденный точкой за первые 3 секунды движения; путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) y = x² – 2x + 3, y = x+3

2) у³ = х, у = 1, х = 8

3) , у = 1, у = 4, осью ординат

4. Найти объем тела, полученного от вращения кривой вокруг оси Оу в пределах от у = 1 до у = 5

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Как найти площадь криволинейной трапеции? Может ли она получиться отрицательной, равной нулю и почему?
2. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
3. В чем заключается физический смысл определенного интеграла?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Поиск по сайту: