Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка у′ = f(x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:

у′ = f₁(x) ∙ f₂(y).

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными полезно придерживаться следующей схемы:

- разделить переменные (т.е. в одной части уравнения должно быть выражение, содержащее только переменную х, в другой – переменную у);

- найти интегралы от обеих частей уравнения, найти частное решение уравнения;

- найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения: ydy + xdx = 0

Решение. Сначала разделим переменные, т.е. запишем уравнение в виде

ydy = -xdx,

затем найдем интегралы от обеих частей уравнения:

∫ ydy = -∫xdx,

получим

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения (решить задачу Коши для заданных начальных условий): (1+x²)dy – 2x(y+3)dx = 0, если у = -1 при х = 0.

Решение. Сначала найдем общее решение. Разделим переменные (для этого выражение (– 2x(y+3)dx) перенесем в правую часть и разделим обе части уравнения на (1+x²)(y+3)).

Получим: ,

,

найдем интегралы от обеих частей:

Вычислим отдельно каждый интеграл.

1. . Введем новую переменную t = у+3, тогда dt = (у+3)′∙ dу = dу, т.е. dt = dу. Подставим новую переменную в интеграл:

= = ln +C = ln +C

2. . Введем новую переменную t = 1+x² , тогда dt = (1+x²)′∙ dx = 2xdx, откуда dx = . Подставим новую переменную в интеграл:

= = = ln +C = ln

Найдем общее решение данного уравнения:

Для нахождения частного решения подставим в общее решение вместо х и у заданные начальные значения: , и найдем С: С = ln 2.

Затем подставим в общее решение получившееся значение C:

Практическое занятие №27

Наименование занятия: Решение однородных и линейных дифференциальных уравнений

Первого порядка

Цель занятия:Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка

Подготовка к занятию:Повторить теоретический материал по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения».

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5

1. Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих начальным условиям:

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
	, если	, если	если	, если	, если
	, если	, если	, если	, если	, если

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Дать определение дифференциального уравнения первого порядка.
2. Какое уравнение называется линейным?
3. Какое уравнение называется однородным?
4. Как решаются дифференциальные уравнения первого порядка?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Однородные уравнения

Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Любое уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

Рассмотрим однородное уравнение

Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем:

Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента , т.е.

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:

Далее заменяем y = ux, .

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и, найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Введем вспомогательную функцию u.

.

Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее .

Подставляем в исходное уравнение:

Разделяем переменные:

Интегрируя, получаем:

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

Линейные уравнения

Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однороднымдифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднороднымдифференциальным уравнением.

P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.

Поиск по сайту: