Практическое занятие №24

Цель занятия:Научиться вычислять двойные интегралы.

Подготовка к занятию:Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных».

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

1. Вычислить двойные интегралы по указанным прямоугольникам D:

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5

1. Вычислить двойные интегралы по областям G, ограниченным линиями

Вариант 1	G: x = 0, y = 0, x + y = 2	G: x = 1, y = х2, y =	G: x = 1, y = -х3, y =
Вариант 2	G: y = 0, y = x, х = 1	G: x = 1, y = -х2, y =	G: x = 1, y = х3, y =
Вариант 3	G: y = x2, y2 = x	G: x = 1, y = х3, y =	G: x = 1, y = -х2, y =
Вариант 4	G: y = х3, x = 0,x + y = 2	G: x = 1, y = -х3, y =	G: x = 1, y = х2, y =
Вариант 5	G: y = 0, y = cos x, y = x + 1	G: x = 1, y = х2, y =	G: x = 1, y = -х2, y =

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Записать формулы вычисления двойного интеграла в случае прямоугольной области.
2. Как вычислить двойной интеграл в случае криволинейной области?

С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.

Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dх_i, а по оси у – на Dу_i. Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S_i = Dx_i × Dy_i .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х_i, y_i) и составим интегральную сумму

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

Если бесконечно увеличивать количество частичных областей D_i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка S_i стремится к нулю.

Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интеграломот функции f(x, y) по области D.

С учетом того, что S_i = Dx_i × Dy_i получаем: