О непротиворечивости модели

Недопустимо, чтобы математическая модель противоречила законам природы и тех наук, в которые она включается.

В этой связи рассмотрим задачу, условие которой приводится в нескольких публикациях, в том числе [9, с. 30 - 31].

На сжигание неизвестного вещества массой 5,4г израсходовали кислород массой 0,8г. При этом получились оксид углерода (IV) массой 8,8 г, азот массой 2,8 г и вода массой 1,8 г.

Определите молекулярную формулу соединения, зная, что относительная молекулярная масса его 27.

Уже из формулировки этой задачи видно, что её данные противоречат закону сохранения массы: при химических реакциях масса веществ, вступивших в реакцию, равна массе веществ, образовавшихся в результате реакции, тогда как . В условии опечатка: вместо г должно быть г.

Теперь без ущерба для определённости задачи исключим из её условия все количественные данные, кроме относительной молекулярной массы.

Поскольку в результате реакции образовались оксид углерода, азот и вода в состав соединения входят углерод, азот и водород, причем в его молекуле содержится только один атом азота, на который приходится 14 единиц из 27, но тогда в оставшихся 13-ти единицах может содержаться только 1 атом углерода (12 единиц), а остаток, равный единице, приходится на водород. Поэтому других элементов вещество не содержит. Значит, формула соединения (которое называется синильная кислота). Просто и красиво.

О других требованиях

Важным является требование робастности (от английского слова robust «крепкий»), характеризующее устойчивость, добротность, «прочность» модельных решений по отношению к исходным данным, которые являются величинами приближёнными, так как их часто получают с помощью измерений и потому соответствующие им числа лишь приближенно выражают точные, но неизвестные нам значения реальных величин.

Если малые погрешности исходных данных будут вызывать малые погрешности получаемых результатов, то решение устойчиво, в противном случае – неустойчиво. Этот вопрос подробно освещается далее при рассмотрении линейных математических моделей.

Говоря о требовании продуктивности модели, отметим, что в ней данные должны легче поддаваться измерениям, чем получаемые, так как иначе теряет смысл построение и исследование соответствующей математической модели. В рассмотренной выше задаче при проведении реакции разложения оксида хлора нужно было затратить время, израсходовать некоторое количество вещества, измерить соответствующие объёмы и привести их к нормальным условиям (н. у.). В предложенном выше решении эта информация не нужна, поэтому оно эффективнее экономически и в этом смысле такая модель продуктивна.

Требование простоты модели, как правило, противоположно требованию её адекватности. Но только, как правило, поскольку нередко бывает и так, когда упрощение содержательной или математической модели улучшает её адекватность. Именно, поэтому, часто построив модель, приходится её преобразовывать, переходя к более простой модели. Так, мы поступали, отбрасывая всё лишнее, например, при установлении формулы оксида хлора при обсуждении вопроса о полноте математической модели.

И, конечно же, модель станет очень хорошей, если она одновременно будет удовлетворять всем перечисленным требованиям и оптимальной, если система исходных данных (аксиом) окажется ещё и независимой.

Уравнение умнее своих создателей.

Г. Герц

Поиск по сайту: