Множественность и единство моделей

Реальный объект может иметь несколько разных моделей. Когда архитектор готовится построить новое здание, то прежде чем воздвигнуть его, он сооружает здание из кубиков на столе. Это – модель. Если представлен только чертеж того же проектируемого здания, то это тоже модель. Если есть таблица чисел и формул, на основании которых можно судить о том же здании, то и это – тоже его модель, но в другом исполнении. Реальное здание по отношению ко всем своим моделям является оригиналом или прототипом. Модель – это объект, определенным элементам которого соответствуют элементы другого объекта – оригинала, причем взаимосвязям и отношениям между элементами модели соответствуют определенные взаимосвязи и отношения между элементами оригинала. Указанная выше множественность моделей связана с тем, что каждая их них по-своему отражает отдельные стороны реального объекта, т.е. рассматриваемая система моделей составляет основу суждения об объекте вообще и о здании в частности. И не просто каких-то моделей, а взаимосвязанных.

Так, молекулу вещества будет характеризовать система математических моделей, каждая из которых зависит от постановки задачи. Если нужно установить простейшую формулу соединения, то достаточно выразить с помощью взаимно простых чисел индексы при элементах химической формулы. В молекулярной формуле каждый индекс определяет количество атомов соответствующего элемента, структурная формула должна характеризовать строение молекулы, а пространственная модель – еще и её конфигурацию. И эта множественность математических моделей связна с тем, что каждая из них отражает отдельные стороны одного и того же реального объекта, исследует различные системы его свойств.

Рассмотрим задачу: Массовая доля углерода в углеводороде составляет %. Определите: 1) Простейшую формулу углеводорода; 2) Его молекулярную формулу; 3) Структурную формулу;

1) Запишем формулу неизвестного углеводорода в виде , где и – натуральные числа. По массовой доле углерода в углеводороде составляем уравнение: , т.е. или

, (2.1)

значит, – простейшая формула углеводорода, так как числа и – взаимно простые.

2) Теперь построим математическую модель, определяющую и .

Поскольку в молекуле предельного углеводорода с атомами углерода связано максимальное количество атомов водорода, равное , для индексов и молекулярной формулы любого углеводорода справедливо неравенство

. (2.2)

Итак, для определения натуральных чисел х и у имеем смешанную систему

,

решая которую, находим: или , но – число натуральное, значит и из уравнения (2.1).

Следовательно, – молекулярная формула углеводорода (метан). Заметим, что в этом случае простейшая формула совпадает с молекулярной.

3) Поскольку углерод в углеводороде четырехвалентен, а водород одновалентен, то

│

── ── – структурная формула метана.

│

4) В учебниках химии отмечается, что модель молекулы метана тетраэдрическая, т.е. является правильным тетраэдром, все ребра которого имеют одинаковую длину, а грани являются правильными конгруэнтными треугольниками. Центр такого тетраэдра совпадает с положением атома и все валентные углы конгруэнтны. Вычислим их.

Пусть точка – центр правильного тетраэдра , т.е. центр описанной около него сферы (рисунок 2.1); поэтому . Обозначим длину ребра тетраэдра как , и продолжим до пересечения с основанием . Тогда высота, и , так как – центр правильного треугольника со стороной . Из имеем:

и , следовательно,

[41, c. 69].

Отметим, что в учебниках химии величина этого валентного угла сообщается догматически.

Рисунок 2.1 – Тетраэдрическая модель молекулы метана

Единство моделей состоит в том, что различные объекты могут иметь одну и ту же математическую модель, например . Кроме того, если

различные объекты имеют одинаковую математическую модель, то можно один из этих объектов моделировать другим. Так, площадь фигуры, для вычисления которой служит такая математическая модель, как интеграл, можно определить с 2–3 значащими цифрами с помощью взвешивания на аналитических весах. Для этого достаточно вычертить заданную фигуру (её площадь запишем в виде ) на ватмане или тонком картоне, вырезать её и взвесить (вес обозначим как ) затем вырезать из этого же картона единичный квадрат ( =1), взвесить его ( – вес единичного квадрата) и написать пропорцию : = : , из которой = ( / ) = / , где величины и определены взвешиванием. Поскольку задача о приближенном вычислении определенного интеграла сводится к нахождению площади криволинейной трапеции, а последняя может быть определена при помощи взвешивания, то и определенный интеграл часто может быть вычислен взвешиванием.

Примечательно, что при моделировании одного объекта другим, их общая математическая модель (в рассмотренном примере – определенный интеграл), посредством которой изучение одного объекта заменяется другим, остается в стороне, хотя именно на единстве математической модели основана возможность такого изучения.

Важнейшим требованием к математической

модели является требование ее адекватности….

А.Д. Мышкис

Поиск по сайту: