Понятие математической модели

Если говорить о познании, то наше время характеризуется проникновением математического образа мышления во все основные сферы.

Уже давно существуют такие научные и учебные дисциплины как математическая логика, математическая физика и математическая статистика и относительно недавно, во второй половине XX века, появились новые названия: «математическая экономика», «математическая биология», «математическая лингвистика»... И какую бы науку ни взять, теперь вряд ли кому-нибудь покажется невозможным присоединение к ее наименованию эпитета «математическая» [26, с.5–11].

Теперь уже можно говорить о математизации не только науки, но и жизни, в которую все более активно входит словосочетание «математическая модель».

Дело в том, что при решении прикладных задач, т. е. таких, условия которых содержат нематематические понятия, математика применяется не непосредственно к реальному объекту, а к его математической модели [29, с.12], причём термин «объект» понимается в самом широком смысле: это может быть и задача, и процесс, и ситуация, и т.п.

Для многих математика стала точным языком выражения мысли, и как литература и искусство, особым способом познания. По аналогии с художественными образами уместно говорить о «математических образах» или более точно и современно о «математических моделях» как форме отражения действительности. И, как, изучая художественные образы, мы познаем отраженную в них жизнь, так исследуя математические модели, мы познаем объективную реальность.

Как уже говорилось, с понятием математической модели по существу знакомы все. Так, если нужно определить площадь пола комнаты прямоугольной формы, то для выполнения такого задания пол считают прямоугольником, измеряют его длину и ширину, а затем перемножают полученные числа. Вот этот прямоугольник идеализированный, математический вместе с его параметрами: – длиной, – шириной, формулой для вычисления площади: и есть математическая модель рассматриваемой задачи.

Ивсе жемы построим здесь такую модель. Но прежде заметим, что для непосредственного измерения указанной площади необходимо иметь, например наборы квадратных плиток со сторонами 1м, 1дм, и 1см, которыми можно покрыть весь пол, а затем, пересчитав их, выразить результат в квадратных метрах.

Как видим, прямое измерение площади фигуры в виде прямоугольника представляет непростую задачу в особенности, если нужно найти площадь большого сельскохозяйственного поля даже прямоугольной формы.

Вот почему нужна модель, которая дает возможность непосредственно измерить линейные размеры и и по ним уже математически найти площадь.

При построении такой модели будем исходить из того, что площадь квадрата со стороной равна . Теперь получим формулу для определения площади прямоугольника со сторонами и . Для этого рассмотрим рисунок 1.1,

Рисунок 1.1

из которого очевидно, что площадь квадрата со стороной равна сумме площадей квадратов со сторонами и и двух равных прямоугольников, площадь каждого из которых обозначена на рисунке буквой , а потому имеем уравнение: , из которого находим:

Именно с помощью такой модели совсем легко вычислить площадь пола прямоугольной формы: для этого достаточно измерить длину и ширину комнаты, а затем перемножить полученные числа.

Заметим, что измерить непосредственно объём прямоугольного параллелепипеда, пользуясь геометрическими моделями соответствующих кубов, ещё сложнее. А по формуле, т.е. косвенно, с помощью математической модели, совсем просто: для этого достаточно измерить длину, ширину и высоту параллелепипеда, а затем перемножить полученные числа.

Здесь уместно привести высказывание Д.И. Менделеева: «Наука начинается с тех пор, когда начинают измерять».

Итак, с математической моделью связано одно существенное свойство: её участие в эксперименте, в его планировании.

В старинной восточной сказке рассказывается: «Царь обещал дать тому, кто взвесит его слона, столько золота, сколько весит сам слон. Бедняк перевозчик ввел слона в свою большую лодку и отметил уровень, до которого она погрузилась в воду. Затем он вывел слона на берег и нагрузил лодку золотом до прежней отметки. Вес золота равнялся весу слона».

Теперь осталось взвесить золото частями на весах, допускающих соответствующие нагрузки, и сложить полученные результаты. Вот это арифметическое соотношение, выражающее совсем простую идею, и есть математическая модель, позволяющая косвенно взвесить неделимое тело весом равного груза, который можно взвешивать частями.

Чтобы определить сделана ли корона царя Гиерона из чистого золота или ювелир подмешал в неё серебро, Архимед составил следующий план эксперимента. Сначала он сделал слиток из золота того же веса, какой был у короны. Затем наполнил до половины большой сосуд водой, опустил в него золотой слиток и отметил черточкой уровень воды, до которого она поднялась. Вынул золотой слиток и опустил в сосуд корону: черточка соответствующая этому опыту оказалась значительно выше отмеченной.

Итак, объем слитка золота оказался меньше объема короны того же веса. Так, с помощью модели в виде неравенства, ювелир был уличен в мошенничестве.

Отметим, что координатная или числовая ось, с которой мы познакомились ещё в школе, является в частности математической моделью хронологии исторических событий, причём её отрицательная полуось отражает события, происшедшие до н.э., положительная – моделирует хронологию событий н.э., а начало координат соответствует Рождеству Христову.

А математическая модель, представляющая золотую пропорцию (деление отрезка в среднем и крайнем отношении) широко применяется в живописи и архитектуре при создании целостной гармонической формы, наиболее полно выражающей содержание произведения [18, с. 6].

На карте автомобильных дорог, которой пользуются водители, путь от Москвы до Севастополя представляет ломаную линию, состоящую из криволинейных или прямолинейных отрезков. Это – графическая (геометрическая) модель дороги. Можно построить и математическую (аналитическую) модель той же дороги, представив ломаную линию в виде совокупности систем, состоящих из уравнений и неравенств. Но и эта модель лишь приближенно будет отображать реальную дорогу.

А вот как определяет обсуждаемое понятие академик А.Н. Тихонов: «Математическая модель –приближенное описание какого – либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики» (МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ. – М.: СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, 1982.– Т. 3, С. 574)

Поиск по сайту: