Багатокритеріальні ЗПР

В загальному випадку стратегія оперуючої сторони Х_і, i=1,n може бути скаляром, вектором, матрицею або ще більш складним утворенням.

Приймемо: Х=(Х₁,Х₂...Х_n) – n – вимірний вектор. Компоненти Х_і зв’язані з конкретними фізичними та економічними показниками задачі, тобто обмежені:

G_j= G_j(С_j,Х) ³ b_j, j=1,m (8.7)

G_j – векторна функція; b_j – фіксована скалярна величина; С_j – деяка сукупність фіксованих величин (скаляр, вектор...). Ці умови визначають область допустимих стратегій Ω_х, тобто з цієї області ОПР обирає стратегію в даній ситуації.

Ефективність дій оперуючої сторони оцінюється сукупність локальних критеріїв Е₁, Е₂...Е_к, які мають коефіцієнти відносної важливості l₁, l₂,... l_к. Тоді є два вектори: Ù=(l_e), e=1,к і Е=(Е_e), e=1,к. Кожний критерій характеризує локальну мету операції і зв’язаний із стратегією відображенням.

Е_е= Е_е (А_е,Х), е=1,к (8.8)

А_е – сукупність фіксованих факторів.

Частинним випадком відображення Х® Е_е є функціональна залежність між критерієм Е_е і стратегією Х_j.

Одночасне досягнення мети операції за всіма локальними крите-ріями при одній стратегії неможливо, тому рішення полягає в знаходженні компроміса в досягненні локальних цілей. Тоді виникає задача:

- стратегія Х_opt повинна належати множині Ω_х її допустимих значень;

- стратегія повинна бути найкращою стосовно прийнятого принципу компроміса з урахуванням вектора Λ важливості критеріїв

Е_opt=E(X_opt)=opt [E(x), Λ] (8.9)

хÎΩ_х

Оператор opt визначає принцип оптимальності, вибір найкращого рішення. Принцип оптимальності – математична модель принципа компроміса.

Область Ω_х можна розділити:

- Ω_х^с – область згоди, коли рішення може бути покращено одночасно за всіма показниками (або принаймі без зниження рівня будь-якого з критеріїв);

- Ω_х^к – область компромісів, в якій покращення якості рішення за одними локальними критерями приводить до погіршення якості рішення по іншим.

Оптимальне рішення належить області компромісів Ω_х^к.

Для вибору варіанта рішення необхідно розкрити оператор opt, тобто знайти схему компроміса, що здійснює ОПР суб’єктивно.

При аналізі схеми компромісу приймається, що локальні критерії нормалізовані (мають однакову розмірність або є безрозмірними) та мають однакову важливість.

Використовуючи область допустимих критеріїв, можна записати:

Е_opt=E(X_opt)=opt[E(X), Ù]=opt[E, Ù]

хÎΩ_х ЕÎΩ_Е^к (8.10)

Схеми компромісу: (принципи) рівномірність; справедливої поступки; виділення одного оптимізуємого критерія; послідовних поступок і інш.

1.Для забезпечення одночасно екстремума функцій f₁(x), f₂(x)...f_n(x) використовується лінійна згортка:

(8.11)

C_i – додатні числа, нормовані наприклад так: .

При такому способі згортки вводиться відношення еквівалентності різних критеріїв, а величини C_i показують, наскільки змінюється функція F(х) при зміні критерія f_і(x) на одиницю: .

Значення C_i – результат експертизи, вони дають уявлення оперуючої сторони про зміст компромісу (вимушеного). Зміст компроміса – ранжування цілей, яке разом з призначенням вагових коефіцієнтів є додатковою гіпотезою для зведення багатокритеріальної задачі до однокритеріальної.

2. Використання контрольних показників.Часто в задачах планування та конструювання задається система нормативів: f^*₁,f^*₂,…,f^*_n. Тоді необхідно максимізувати функції f_i(x) за умов f_i(x) ³ f^*_i , i=1,n.

Цільову функцію подають у виді

(8.12)

і шукають вектор х, який забезпечує максимальне значення F(х). Наприклад:

f₁(x)=2x f₁^*(x)=4

f₂(x)=x² f₂^*(x)=2

f₁(x)=6x f₃^*(x)=8

1. х=1 ; ;

2. х=2 ; ;

В чому смисл? При даному значенні вектора Х величина F(x) дає значення найгіршого показника f_i(x). Значить умова F(x) ®max означає вибір таких конструктивних параметрів х, які максимізують відношення і-го реально досягнутого значення критерія до його контрольного значення. Якщо значення f_i^* жорстко не задаються, то вони можуть визначатись в результаті експертного опитування.

3. Виділення одного критерія. Якщо є контрольні показники f_i^* відносно яких критерії f_i(x) повинні задовольняти умовам:

f_i(x) ³ f^*_i , i=1,n,

то серед них можна визначити основний

f₁(x) ®max

4. Введення метрики в просторі цільових функцій. Гіпотеза: допустимо, що розв’язана система однокритеріальних задач:

f_і(x) ®max; i=1,n,

а в і-й задачі знайдемо вектор х=х_і, який доставляє max критерію f_і(x):

f_і(x_і)= , i=1,n

Сукупність скалярних величин визначає в просторі критеріїв деяку точку – точку “абсолютного максимума”. Якщо вектори х_і різні, що не існує вибора такої точки: точка ( , ,... ) є недосяжною в просторі критеріїв. Вводиться додатньо визначена матриця R=(r_ij). Тоді скалярна величина:

(8.13)

визначає в просторі критеріїв деяку відстань від точки, яка відповідає даному вектору х, до точки “абсолютного максимума”. В частинному випадку, коли R – одинична матриця

(8.14)

- евклідова відстань від точки (f₁(x₁), f₂(x₂)... f_n(x_n)) до точки ( , ,... ) в просторі критеріїв.

В цьому випадку мінімізація h як нового критерія дає корисну інформацію – показує граничні можливості досягнення “абсолютного максимума”.

5. Компроміси Парето

Смисл згортки критеріїв – одна задача замінюється іншою, але можна підійти до аналіза багатокритеріальних задач з інших позицій: спробувати скоротити множину початкових варіантів, тобто виключити з аналізу ті варіанти рішень, які будуть наперед незадовільними. Один з шляхів – економіст В.Парето (1904, Італія).

Допустимо, що зроблено вибір - х^* і існує ще вибір такий, що для всіх критеріїв f_і(x) мають місце нерівності:

f_і( ) ³ f_і(х^*), i=1,n,

причому хоча б одна нерівність – строга. Тоді зрозуміло, що вибір кращий х₁^* і можна одразу всі вектори х^*, які задовольняють умові, виключити з розгляду. Має смисл співставляти і аналізувати лише ті вектори х^*, для яких не існує такого, щоб для всіх критеріїв виконувалась умова. Множину значень х^* називають множиною Парето, а вектор х^* - не покращуємий вектор результатів (вектор Парето), якщо з f_і( ) ³ f_і(х^*) для будь-якого і випливає f_і( ) =f_і(х^*).

Допустимо, що цілі об’єкта визначаються двома однозначними функціями

f₁(x)®max, f₂(x)®max (рис.8.2)

f₂ a c

a^/ q

е

b d

f₁

Рис.8.2. Площина критеріїв

Тоді кожному допустимому значенню змінної х відповідає одна точка на площині, (f₁, f₂), а рівності f₁= f₁(х), f₂= f₂(х) визначають параметричне завдання деякої кривої abcd на цій площині.

Але до множини Парето можна віднести далеко не всю криву: так дільниця bc, очевидно, не належить до множини Парето, бо з ростом f₁ відбувається зростання і f₂. Це значить, що на цій дільниці зміні х відповідає одночасне зростання обох цільових функцій, і ці варіанти треба виключити з розгляду.

Так само виключається дільниця а^/b, бо для кожної її точки e можна знайти на cd точку, в якій значення обох функцій f₁ і f₂ більші, чим в точці e. Таким чином, на належність до множини Парето можуть претендувати лише дільниці аа^/ і cd , причому точка а^/ повинна виключатись.

Принцип Парето не виділяє єдиного рішення, він лише звужує кількість альтернатив.

Прийняття рішень в умовах невизначеності.

Задача прийняття рішень (ЗПР) в умовах невизначеності – вибір оптимальної стратегії в операції, результат якої крім стратегій оперуючої сторони і ряду фіксованих факторів (детермінованих, стохастичних або і тих, і інших) залежить від невизначених факторів, невідомих в момент прийняття рішень, не залежних від оперуючої сторони. Тому кожній стратегії оперуючої сторони відповідає не єдиний (як в детермінованому випадку), а множина можливих результатів.

Необхідно розрізняти стохастичні і невизначені фактори. Щодо стохастичних факторів, то для них існує достатньо повна стохастична інформація, а невизначені фактори проявляються внаслідок недостатньої інформації щодо “природи” операції: невідомі характеристики процесів та властивості об’єктів, зовнішні умови.

Можна виділити дві групи факторів, які викликають невизначеності нестохастичної природи:

- стратегічні невизначеності, коли в операції приймають участь кілька оперуючих сторін, які мають різні цілі, і кожна сторона приймає рішення в умовах, коли дії інших учасників невідомі;

- концептуальні невизначеності – невизначені фактори для особ-ливо складних рішень з довгостроковими наслідками, нечіткими уявленнями про власні цілі інших учасників. Тут часто виникає конфліктна ситуація, для аналізу якої і прийняття рішення в умовах активної дії кількох учасників використовуються теорія ігор та мінімакса (максиміна).

З конфліктними ЗПР пов’язані передумови:

- кожному учаснику відомі цілі і стратегії інших;

- кожен учасник є розумним та активним, тому визначальними в його поведінці вважається прагнення максимального досягнення власних цілей.

Це спрощує підхід до прийняття рішень, на цьому засновані теорія ігор і теорія мінімакса. З урахуванням “природи” ситуації ЗПР ускладнюється: їй не можна приписати свідомо поставлених цілей, але людина поступово вивчає закони природи і знижує, зменшує невизначеності.

В ЗПР в термінах “гра з природою” процедури форма-лізуються так:

- ОПР може обрати один з n можливих варіантів рішень х_і, і=1,n;

- результат операції: s_j, j=1,m приймають: А – виграш ОПР, А – втрати.

Тоді в табличному вигляді або матриці втрат (виграшів) задається:

A=|a_ij|, A=|a_ij|, (8.15)

a_ij=A(x_i, s_j) – виграш для рішення x_i при s_j.

Функцію втрат необхідно перетворити в функцію ризиків, яка визначає можливі втрати ОПР в залежності від одного аргумента – приймаємого рішення х_і, і=1,n;

Якщо зафіксувати деяку стратегію (рішення) Х^/ÎХ, то з двох- аргументної функції A(x_i, s_j) отримують нову, одноаргументну функ-цію, яка відображає залежність втрат від результату операції при фіксованому рішенні Х^/ - функція A^/(x^/, s_j). Функція втрат перетворюється в функцію ризика за допомогою функціонала Р. Результат:

r(x^/)=РА^/ (x^/, s_j) – число, ризик, пов’язаний з стратегією x^/.

Тоді: найкращою є стратегія (якщо вона існує) Х^*ÎХ, яка мінімізує ризик на множині Х:

r(x^*)=min r(x_i), і=1,n (8.16)

x_i ÎХ

Критерії оптимальності вибору рішень ОПР за умови відсутності апріорної інформації щодо результатів операції s_j.

Критерій Лапласа. Приймається, що ймовірності результатів s_j рівні. Тоді для кожного рядка матриці виграшів A=|a_ij| підраховується середнє значення оцінок, а оптимальна стратегія – максимальне значення цього середнього:

(8.17)

Критерій Вальда. Оптимальною вважається стратегія, коли міні-мальний виграш є максимальним, тобто гарантується виграш, не менший, ніж максимін:

Цей критерій орієнтує ОПР на найгірші умови та рекомендує обирати стратегію, для якої в гірших умовах виграш максимальний (принцип – “завжди необхідно розраховувати на гірше”). Це – критерій крайнього песимізму.

Критерій Севіджа. Можна в кожному стовбці матриці виграшів A=|a_ij| обрати max a_ij і скласти нову матрицю:

1£ і £ n

r_ij=max a_ij - a_ij (8.18)

1£ і £ n

Матриця ризиків R=| r_ij | дає можливість обрати стратегію, за якою величина ризику приймає найменше значення в самій несприятливій ситуації:

(8.19)

Сутність критерія – за будь-яких умов уникнути великого ризику при прийнятті рішень. Це теж критерій крайнього песимізму, але гіршим тут є не мінімальний виграш, а максимальний ризик – максимальна втрата виграшу в порівнянні з тим, що можна було досягнути за даних умов.

Критерій Гурвиця. Між крайнім песимізмом (розрахунок на гірше) та легковажним оптимізмом (розрахунок на краще) при виборі стратегії в умовах невизначеності критерій Гурвиця рекомендує розраховувати на деякий середній результат:

(8.20)

a - коефіцієнт оптимізму, 0 £ a £ 1.

При a=1 критерій Гурвиця перетворюється в критерій крайнього песимізму Вальда,

при a=0 – критерій крайнього оптимізма, коли рекомендується обирати стратегію, за якої в найкращих умовах виграш максимальний;

при 0 < a < 1 – середня оцінка між крайнім песимізмом та крайнім оптимізмом, a - міра песимізму ОПР. Чим більш небезпечна ситуація, тим більше намагаються “підстрахуватись”, a®1.

Критерій Байєса. В цьому випадку на множині всіх ситуацій вва-жається відомим апріорне розподілення ймовірностей Р(s_j).

Цей критерій мінімізує середні втрати, тобто ризик тут – математичне сподівання:

(8.21)

Найкраща стратегія мінімізує ризик:

(8.22)

Поиск по сайту: