1. За даними векторами і побудувати кожен з наступних векторів: 1) + ; 2) – ; 3) – ; 4) – – .
2. Маємо: Обчислити |
3. Маємо: | та | Визначити |
4. Вектори a і b взаємно перпендикулярні, причому | |= 5 і | |=12. Визначити | | та | |.
5. Вектори і утворюють кут j = 60°, причому | |=5 і | |=8. Визначити | | та | |.
6. Вектори і утворюють кут j = 120°, причому | |=3 і | |=5. Визначити | | та | |.
7. Якій умові повинні задовольняти вектори і щоб мали місце такі співвідношення: 1)| |=| |; 2)| |>| |; 3)
8. Якій умові повинні задовольняти вектори і , щоб вектор ділив навпіл кут між векторами і .
9. За даними векторами і побудувати такі вектори:
10. Точка О є центром ваги трикутника АВС. Довести, що
11. Перевірити колінеарність векторів ={2; -1; 3} і {-6; 3; -9}. Визначити, який з них довше і у скільки разів, як вони направлені - в один бік чи в протилежні сторони.
12. Визначити, при яких значеннях a,b вектори =-2i+3j+bk та =ai-6j+2k колінеарні.
13. Перевірити та впевнитись, що чотири точки А(3; -1; 2), В(1; 2;-1), С(-1;1;-3), D(5;0;4) служать вершинами трапеції.
14. Маємо точки А(-1; 5; -10), В(5; -7; 8), С(2; 2; -7) та D(5; -4;2). Перевірити і впевнитись, що вектори та колінеарні; встановити який з них довше і у скільки разів, як вони направлені - в один бік чи в протилежні сторони.
15. Маємо дві вершини А(2; -3;-5), В(-1;3; 2) паралелограма АВСD і точку перетину його діагоналей Е(4; -1; 7).Визначити дві інші вершини цього паралелограма.
16. Маємо три вершини А(3; -4; 7), В(-5; 3; -2) та С(-4; 2; -3) паралелограма АВСD. Знайти його четверту вершину D, протилежну В.
18. На площині є три вектори =(3; -2), (-2; 1) та =(7; -4). Визначити розклад кожного з цих трьох векторів, приймаючи в якості базису два інших.
19. Маємо три вектори =(3; -1), (1; -2) та =(-1; 7). Визначити розклад вектора за базисом
20. Маємо три вектори =(3; -2; 1), =(-1; 1; -2) та =(2; 1; -3). Знайти розклад вектора = (11; -6; 5) за базисом
21. Маємо чотири вектори =(2; 1; 0), (1; -1; 2), =(2; 2; -1), (3; 7; -7). Визначити розклад кожного з цих чотирьох векторів, приймаючи в якості базису останні три.
22. Вектори та утворюють кут ; знаючи, що | |=3, | |=4, обчислити:
23. Вектори та утворюють кут j= ; знаючи, що | |= ,| |=1, визначити кут a між векторами та
24. Маємо вектори Обчислити:
25. Маємо точки А(-1; 3; -7), В(2; -1; 5) та С(0; 1; -5). Обчислити:
26. Маємо вершини чотирикутника А(1; -2; 2), В(1; 4; 0), С(-4; 1; 1) та D(-5; -5; 3). Довести, що його діагоналі АС та ВD взаємно перпендикулярні.
27. Визначити, при взаємно перпендикулярні.
28. Маємо вершини трикутника А(-1; -2; 4), В( -4; -2; 0) та С(3; -2; 1). Визначити його внутрішній кут при вершині В.
29. Обчисливши внутрішні кути трикутника А(1; 2; 1), В(3; -1; 7), С(7; 4; -2), впевніться, що цей трикутник рівнобедрений.
30. Вектор , колінеарний вектору =(6; -8; -7,5), утворює гострий кут з віссю Oz. Знаючи, що | |=50, знайти його координати.
31. Знайти вектор , який колінеарний вектору =(2; 1; -1) і задовольняє умові
32. Маємо два вектори: =(3; -1; 5) та (1; 2; -3). Знайти вектор при умові, що він перпендикулярний до осі Oz і задовольняє умовам:
33. Маємо пряму 2х+3у+4=0. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М0(2;1): 1) паралельно даній прямій; 2) перпендикулярно до даної прямої.
34. Маємо рівняння двох сторін трикутника 2х-3у+5=0, 3х+2у-7=0 і одна з його вершин А(2; -3). Скласти рівняння двох інших сторін цього прямокутника.
35. Знайти точку Q, симетричну точці P(-5; 13) відносно прямої 2х-3у-3=0.
36. Маємо середини сторін трикутника М1(2; 1), М2(5; 3) та М3(3; -4). Скласти рівняння його сторін.
37. Скласти рівняння прямої, якщо точка Р(2; 3) є основою перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю пряму.
38. Сторони трикутника задані рівняннями 4х-у-7 =0, х+3у-31=0, х+5у-7=0. Визначити точку перетину його висот.
39. Маємо вершини трикутника А(1; -1), В(-2; 1) та С(3; 5). Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з вершини А на медіану, проведену з вершини В.
40. Знайти проекцію точки Р(-8; 12) на пряму, що проходить через точки А(2; -3) та В(-5; 1).
41. Визначити кут j між двома прямими:
1) 5х-у+7=0, 3х+2у=0; 2) 3х-2у+7=0, 2х+3у-3=0.
42. Точка А(-4; 5) є вершиною квадрата, діагональ якого лежить на прямій 7х-у+8=0. Скласти рівняння сторін і другої діагоналі цього квадрата.
43. Маємо дві протилежні вершини квадрата А(-1; 3) та С(6; 2). Скласти рівняння його сторін.
44. Встановити, які з вказаних пар прямих перпендикулярні:
1)3х-у+5=0, 2) 3х-4у+1=0,
х+3у-1=0; 4х-3у+7=0.
45. Визначити кут j , утворений двома прямими:
1)3х –у +5 =0, 2х +у –7 =0;
46. Маємо дві вершини трикутника М1(-10; 2) та М2(6; 4); його висоти перетинаються в точці N(5; 2). Визначити координати третьої вершини М3.
47. Маємо дві вершини А(3; -1) та В(5; 7) трикутника АВС і точку N(4; -1) перетину його висот. Скласти рівняння сторін цього трикутника.
48. Знайти радіус і координати центра кола, заданого рівнянням
х2+у2+8у-10х+37=0.
49. Встановити, яка лінія визначена рівнянням 4х2+9у2-8х+36у+4=0, і побудувати цю лінію.
50. Маємо дві точки М1(3; -1; 2) та М2(4; -2; -1).Скласти рівняння площини, що проходить через точку М1 перпендикулярно вектору .
51. Скласти рівняння площини, що проходить через три точки:
М1(3; -1; 2), М2(4; -1; -1) та М3(2; 0; 2), знайти відстань від точки Р(-2; 1; 0) до цієї площини.
52. Визначити, при яких значеннях l та m вказані пари рівнянь будуть визначати паралельні площини:
1) 2x +Ly +3z -5=0, mx- 6y -6z + 2=0;
2) 3x –y +Lz -9=0, 2x+ my +2z –3 =0.
53. Визначити, при яких значеннях L вказані пари рівнянь будуть визначати перпендикулярні площини:
1) 3x -5y +Lz -3=0, x+ 3y +2z + 5=0;
2) 5x –y -3z -3=0, 2x+ Ly -3z + 1 =0;
3) 7x -2y -z =0, Lх+ y -z – 1=0.
54. Визначити двогранні кути, утворені перетином таких пар площин:
55. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат паралельно площині 5х –3у +2z –3 =0.
56. Скласти рівняння площини, що проходить:
1) через точку М1(3; -2; -7) паралельно площині 2х –3z +5 =0;
2) через О(0,0,0);
3) через М1|| XOY;
4) через М1 і вісь OZ.
57. Встановити, що три площини x -2y +z –7 =0, 2x +y –z +2 =0, x -3y +2z –11 =0 мають одну загальну точку, і обчислити її координати.
58. Обчислити відстань d від точки Р(-1; 1; -2) до площини, що проходить через точки М1(1; -1; 1), М2(-2; 1; 3) та М3(4; -5; -2).
59. У кожному з наступних випадків обчислити відстань між паралельними площинами:
1) x -2y -2z –12 =0, 2) 2x –3y +6z –14 =0,
x –2y –2z –6 =0; 4x –6y +12z +21 =0.
60. Скласти канонічні і параметричні рівняння прямої, що проходить через точку М1(2; 0; -3) паралельно:
1) вектору =(2; -3; 5);
2) прямій
3) осі Оy.
61. Скласти канонічні та параметричні рівняння прямої, що проходить через дві точки:
1) (1; -2; 1), (3; 1; -1);
2) (3; -1; 0), (1; 0; -3).
62. Скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через точку М1(1; -1; -3) паралельно:
66. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М0(2; -3; -5) перпендикулярно до площини 6x -3y -5z +2 =0.
67. Скласти рівняння площини, що проходить через точку М0(1; -1; -1) перпендикулярно прямій .
68. При якому значенні m пряма паралельна площині x –3y +6z +7 =0 ?
69. При яких значеннях А і В площина Ax + By +3z –5 =0 перпендикулярна прямій x= 3 +2t, y= 5 –3t, z= -2 –2t ?
70. При яких значеннях L і C пряма перпендикулярна площині 3x –2y +Cz +1 =0 ?
71. Знайти проекцію точки Р(2; -1; 3) на пряму x= 3t, y =5t-7, z =2t +2.
72. Знайти проекцію точки Р(5;2; -1) на площину 2x –y +3z +23 =0.
73. Витрати виробництва на 10 одиниць деякого товару складають 1000 грн.од., на 50 одиниць товару – 2000 гр.од. Визначити витрати виробництва на 30 одиниць товару за умови, що витрати залежать від об’єму продукції лінійно.
74. Скласти рівняння прямої, яке відображає зміну врожайності 1 га протягом сімнадцяти років, якщо в перший рік з 1 га було зібрано 9,1 ц зернових культур, а в останній рік – 21 ц.
75. Два однотипних підприємства А і В виробляють продукцію з однаковою оптовою відпускною ціною m за один вирыб. Але автопарк, який обслуговує підприємство А, оснащений більш новими і більш потужнішими грузовими автомобілями. У результаті цього транспортні витрати на перевозку одного виробу складають на 1 км: для підприємства А 10 грн.од., а для підприємства В – 20 грн.од. Відстань між підприємствами 300 км. Як територіально має бути розділений ринок збуту між двома підприємствами для того, щоб витрати користувача при навантажуванні виробів і їх транспортуванні були мінімальними.
76. Дві фірми реалізують продукцію з однією і тією же оптовою відпускною ціною p (гр. од.) за один комп'ютер. Транспортні витрати на перевезення одного комп'ютера складають для першої фірми ‑ 15 гр.од., а для іншої ‑ 30 гр. од. Відстань між фірмами 450 км. Дослідити, як територіально повинний бути розділений ринок збуту між двома фірмами для того, щоб витрати споживача при навантаженні виробів і їхньому транспортуванню були мінімальними?
77. Транспорті витрати на транспортування продукції від одного заводу в три рази дешевше, ніж від іншого. Відстань між двома заводами, що виробляють однакову продукцію, 200 км. Побудувати графік кривої і визначити всі райони, в яких однаково вигідно одержувати продукцію обох заводів.
Розділ 6. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ГРАНИЦЬ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ І БАГАТЬОХ ЗМІННИХ
Основні питання, що виносяться на практичні заняття за розділом 6: