Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Рівняння другої прямої запишемо, скориставшись рівнянням



де - вектор нормалі прямої, а

- точка прямої.

Вибравши в якості нормального вектора напрямний вектор прямої АВ, маємо:

2(х-4) +3(у-9)=0.

Таким чином:

 

Розв’язавши цю систему, одержимо: х = 7, у = 7.

Отже, проекція точки Р на задану пряму - точка С(7, 7).

5.14.Валова продукція на 1 га сільскогосподарського угіддя за 4 роки збільшилась на 24,4%. Скласти рівняння прямої, яке відображає зміну валової продукції на 1 га протягом чотирьох років за умови, що валова продукція у відсотках змінюється пропорційно часу.

Розв’язання. Валову продукцію, вироблену в перший рік, приймемо за 100% і будемо шукати рівняння прямої у вигляді y=kx+b:

 

; 100=6,1·1+b; b=93,9.

Отже, y=6,1x +93,9 (x – рік).

5.15. Перевезення вантажу від даного міста в перший пункт, що знаходиться на відстані100 км коштує 200 гр. од., а в інший, що знаходиться на відстані 400 км - 350 гр. од. Встановити залежність вартості перевезення y від відстані x, якщо вартість є лінійна функція від відстані (якість доріг не враховується).

Розв’язання:

Залежність вартості перевезення від відстані виражається лінійною функцією

y = k·x + b

;

Таким чином, y = 0,5x + 150

Відповідь:залежність вартості перевезення від відстані y(x) виражається функцією y = 0,5x + 150.

5.16. Два підприємства, розташовані одне від іншого на відстані 100 км, виробляють однакову продукцію, причому ціна реалізації одиниці продукції на обох підприємствах однакова і складає Р центів. Нехай транспортні витрати на перевезення одиниці продукції від підприємства А до споживача складають 1 цент/км, а від підприємства В – 2 центи/км (див. рисунок.). Для яких споживачів витрати на придбання одиниці виробу підприємств А і В будуть однаковими? Як доцільніше прикріпити споживачів до підприємств?

Розв’язання. Складемо математичну модель задачі.

Проведемо через точки А і В на площині пряму і приймемо її за вісь Ох, вісь ординат проведемо через середину відрізка [АВ]. Нехай споживач знаходиться в точці М (х, у), позначимо АМ = S1, BM = S2.

Витрати споживача на придбання одиниці продукції у підприємств А і В складуть, відповідно, P+S1 і P+2S2 центів. Витрати споживача однакові, якщо P+S1=P+2S2 чи S1=2S2, тобто

. (1)

 

 

 
 

 

 


Витрати споживача менше при придбанні продукції на підприємстві В, якщо S1>2S2, тобто

(2)

Відповідно витрати будуть менше на підприємстві А, якщо S1<2 S2, тобто

. (3)

Складена така математична модель задачі: координати яких точок на площині задовольняють: а) рівнянню (1); б) нерівності (2); в) нерівності (3)?

Для розв’язання цієї задачі спростимо рівняння (1):

(1’)

Рівняння (1’) визначає коло з центром у точці радіуса . Тому споживачам, які знаходяться на колі , усе рівно, де робити закупівлю (в А чи в В).

Аналогічно нерівності (2) рівносильно нерівності

(2’)

яке визначає внутрішність кола. Тому для покупця, що знаходиться усередині кола, вигідніше купувати продукцію на підприємстві В.

Так само нерівність (3) переходить у нерівність

, (3’)

де (3') означає зовнішність кола. Тому якщо покупець знаходитися поза колом, то йому вигідніше робити закупівлі на підприємстві А.

5.17. Відстань від залізничної станції, що відправляє споживачам готову продукцію, до кар'єру, що забезпечує сировиною підприємство, дорівнює 20 км. Відомо, що підприємство знаходиться в два рази ближче від джерела сировини, чим від станції - відправника готової продукції. Знайти рівняння множини всіх можливих місць розташування підприємства, прийнявши за вісь абсцис пряму, що проходить через точки, які відповідають кар'єру і залізничній станції; початок координат узяти по середині між цими точками.

Розв’язання

Складемо рівняння 2S1 = S2, де S1 - відстань від підприємства до джерела сировини, а S2 - до станції

Збудуємо в квадрат обидві частини рівняння і приведем подобные

3x2 + 100x + 3y2 + 300 = 0

x2 + x + y2 + 100 = 0

Отже, множиною всіх можливих місць розташування підприємства є коло з центром в точці (- та радіусом .

5.18.Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М0(2;3;5) і перпендикулярно вектору .

Розв’язання.

 


Достатньо скористатися рівнянням площини, яка проходить через дану точку М0(x0;y0;z0) і має вектор нормалі :

 

.

 

Тоді у нашому випадку маємо:

4(х-2)+3(у-3)+2(z-5)=0, звідси одержуємо рівняння шуканої площини:

4х +3у +2z –27 =0.

 

5.19.Написати рівняння площини, що проходить через точку М0(2; 3; -1) паралельно площині 5х – у + 3z = 5.

Розв’язання.

 

Скориставшись рівнянням площини, що проходить через задану точку, запишемо А(х-2)+В(у-3)+С(z+1)=0. З паралельності площин випливає, що шукана площина має нормальний вектор

, тому рівняння шуканої площини має вигляд

5(х-2) –(у-3) +3(z+1) = 0, або 5х – у + 3z – 4 = 0.

 

5.20.З точки Р(2;3;-5) на координатні площини опущені перпендикуляри. Скласти рівняння площини, що проходить через їх основи.

 

Розв’язання. Основами перпендикулярів, опущених на координатні площини, служать такі точки: М1(2;3;0), М2(2;0;-5), М3(0;3;-5).Застосуємо рівняння площини, що проходить через три точки , які не належать одній прямій:

 

=0

 

Тоді маємо:

 

або 15х +10у –6z-60=0.

 

5.21.Скласти рівняння площини, яка проходить через початок координат перпендикулярно прямій

 

Розв’язання.

 

 

З умови задачі випливає, що напрямний вектор прямої

є вектором нормалі для шуканої площини.

Тоді, аналогічно попередній задачі, маємо:

2(x-0) –1(y-0) +2(z-0)=0, звідки 2x –y + 2z =0.

5.22.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М(5; 3; 4) і паралельна вектору .

Розв’язання.

 

Скористаємося канонічним рівнянням прямої, яка проходить через точку М0(x0; y0; z0) та має напрямний вектор .

5.23. Написати канонічні і параметричні рівняння прямої, що проходить через точку М0(1; -2; 2) паралельно осі ОУ.

 

Розв’язання. Вектор розташований на осі ОУ , за умовою паралельний прямій. Тому його можна вважати напрямним вектором цієї прямої, звідки одержуємо, що канонічні рівняння прямої мають вигляд:

При переході до параметричних рівнянь треба врахувати, що нулі в знаменниках 1-го та 3-го відношень означають, що

х –1 =0 та z –2 =0. Прирівнюючи 2-е відношення до t, одержимо: y =-2 + t.

Отже, шукані параметричні рівняння мають вид х =1, у =-2+ t, z =2.

5.24.Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(2; 4; -6) та середину В відрізка, кінцями якого є точка С(2; 0; -4) та точка D, симетрична точці А відносно початку координат.

 

Розв’язання. Маємо точку D(-2; -4; 6), тоді з формул для обчислення координат середини відрізка одержуємо точку В(0; -2; 1). Скористаємося канонічним рівнянням прямої, яка проходить через точки А(x1; y1; z1) B(x2; y2; z2):

.

Підставляючи наші дані,одержуємо:

або

 

5.25.Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М0(1,-1,2) перпендикулярно площині х-2у-1=0.

 

Розв’язання.

 

 

В якості напрямного вектора візьмемо нормальний вектор заданої площини.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.