Рекомендації до розв’язання типових прикладів розділу 4

4.1. Підприємство виробляє три види продукції П₁, П₂, П₃, використовуючи два види сировини S₁, S₂. Норми витрат сировини задані таблицею:

Визначити витрати сировини, необхідні для вироблення П₁ =150 од., П₂ =120 од., П₃ =80 од.

Розв’язання. Представимо норми витрат у вигляді матриці , а обсяг потрібної для вироблення продукції – у вигляді вектора-стовпця . Якщо розглядати шуканий обсяг витрат сировини у вигляді вектора-стовпця , то його можна знайти як добуток .

Таким чином, для вироблення вказаного обсягу продукції необхідно витратити 1070 од. сировини S₁ та 890 од. сировини S₂.

4.2. З деякого листового матеріалу треба викроїти 200 заготовок типу А, 260 – типу В і 290 – типу С. При цьому можна використовувати три типи розкрою. Кількість заготовок, отриманих з кожного листа при кожному способі розкрою, вказана у таблиці:

Встановити, скільки необхідно мати листів для того, щоб викроїти вказану кількість заготовок.

Розв’язання. Позначимо через х₁, х₂, х₃ кількість листів матеріалу, які розкроюють відповідно до перших, других та третіх способів. Тоді при першому способі розкрою х₁ листів буде одержано 3х₁ заготівок типу А, при другому - 2х₂, при третьому - 1х₃. Для повного виконання завдання по заготівкам типу А сума 3х₁+2х₂+х₃ має дорівнювати 200, тобто 3х₁+2х₂+х₃=200.

Аналогічно одержимо рівняння

х₁+6х₂+2х₃=260,

4х₁+х₂+5х₃=290,

яким повинні задовольняти невідомі х₁, х₂, х₃ для того, щоб виконати завдання по заготівках В і С.

Система лінійних рівнянь

виражає в математичній формі умови виконання всього завдання по заготівках А, В, С.

Розв’язавши одержану систему одним з відомих методів, отримаємо, що для розкрою вказаної кількості заготовок необхідно мати x₁=40, x₂=30, x₃=20 листів матеріалу для розкрою відповідно першим, другим і третім способами.

4.3. Знайти необхідний валовий випуск продукції, коли кінцевий продукт буде інший. Дані подамо таблицею:

Розв’язання. Знайдемо спочатку матрицю А: елементи шуканої матриці А дорівнюють обсягу продукції і-ої галузі, що споживається на виробництво одиниці продукції j-ої галузі. Тому для знаходження елементів і-го стовпця матриці А треба поділити обсяг продукції і-ої галузі, вказаний у таблиці, на загальний валовий випуск цієї галузі. Таким чином, ми одержимо матрицю, що має вигляд:

;

X = (Е - А) · Y

Е – А = ; det (E - A) = 0,514.

Матриця повних витрат:

(E – A) = .

Помноживши матрицю (Е - А) на вектор-стовпець Y кінцевих продуктів, дістанемо новий валовий випуск продукції:

Х = .

Таким чином, першій галузі треба виробити 152,1 одиниць продукції, другій галузі – 135,8, третій галузі – 92,5.

4.4. Знайти власні значення і власні вектори матриці .

Розв’язання. Складаємо характеристичне рівняння

або ,

звідки власні значення матриці: .

Знаходимо власний вектор , відповідний власному значенню . Для цього розв’яжемо матричне рівняння

або ,

звідки знаходимо х₂= –1,5х₁. Поклавши х₁=с, одержимо, що вектори при будь-якому с≠0 є власними векторами матриці з власним значенням .

Аналогічно можна переконатися в тому, що вектори при будь-якому с₁≠0 є власними векторами матриці з власним значенням .

4.5. Структурна матриця торгівлі чотирьох країн має вигляд:

А=

Знайти бюджети цих країн, що задовольняють збалансовану бездефіцитну торгівлю за умовою, що сума бюджетів: .

Розв’язання.

Власне значення матриці А l=1 знаходимо з рівняння det(A-lE)=0:

=0,

(A-E)C=0,

= ,

.

Розв’яжемо отриману систему (наприклад, методом Гаусса):

Система невизначена.

,

,

,

.

.

Тоді , ,

2.3C+0.55C=6270, 2.85C=6270, C=2200.

Отже, , , , .

4.6. Довести, що квадратична форма є додатно визначеною.

Розв’язання. Перший спосіб. Матриця А квадратичної форми має вигляд . Для матриці А характеристичне рівняння:

або .

Розв’язуючи рівняння, знайдемо λ₁=14, λ₂=4. Оскільки корені характеристичного рівняння матриці А додатні, то квадратична форма L- додатно визначена.

Другий спосіб. Оскільки головні мінори матриці

додатні, то за критерієм Сильвестра дана квадратична форма L додатно визначена.

4.7. З однієї фірми на іншу необхідно перевезти обладнання трьох типів: 1 типа - 95од., 2 тип -100 од. ,3 тип - 85 од. Для перевезення обладнання фірма може замовити транспорт трьох видів . Кількість обладнання, що розміщується на визначеному виді транспорту, приведено в такій таблиці:

Записати в математичній формі умову перевезення обладнання з однієї фірми на іншуі визначити, скільки одиниць транспорту кожного виду використовується під час перевезення.

Розв’язання:

Умови перевезення обладнання визначаються системою рівнянь:

Знайдемо кількість транспорту кожного виду:

Відповідь:під час перевезення обладнання з однієї фірми на іншу використовується 15 одиниць транспорту першого виду, 20 одиниць транспорту другого виду і 10 одиниць транспорту третього виду.

4.8. Підприємство випускає продукцію трьох видів А, В, С. Рівень випуску визначається обмеженістю ресурсів. Всі числові дані приведені в такій таблиці:

Записати в математичній формі умови, які повині задовольняти плану випуску продукції. Знайти план випуску продукції.

Розв’язання: План випуску продукції визначається системою рівнянь

Розв'язавши її, одержуємо:

4.9. Цех випускає три види виробів: I, II, III. При цьому застосовуються три виробничих процеси: штампування, складання і фарбування. Інтенсивність (у людино-годинах за період) даних процесів складає відповідно40,40 і 80, а трудомісткість кожного процесу при виробництві продукції задається матрицею, де а_ij - число людино-годин, що потрібно для i-й ситуації опрацювання одиниці виробу j-го виду А = (а_{i j}) =

1. Написати в матричній формі систему рівнянь, що характеризує рівність використовуваних і наявних потужностей для кожного процесу.

2. Нехай потужності кожного виду опрацювання використовуються цілком. Який при цьому випуск кожного виду продукції?

Розв’язання: Нехай трудомісткість виробництва задається матрицею A

А = ;

інтенсивність виробництва задається матрицею B, а випуск продукції кожного виду ‑ матрицею C

C = ; У = ;

тоді система рівнянь, що характеризує процес виробництва, у матричній формі буде мати вид:

В = А × С . Відкуди отримано: C = A^-1B. Отже, x = 10, y = 5, z = 10.

Відповідь: випуск кожного виду продукції дорівнює: I виду - 10 одиниць, II виду - 5 одиниць, III виду - 10одиниць.

4.10.В економіці і господарській діяльності важливу роль грає припущення, що механізм ринкової конкуренції зрушує ціну на продукт, при якому попит і пропозиція стають рівними один одному. Припустимо, що функція попиту на холодильники для деякого періоду часу має вид x=12000 - 0,2 y, де х - ціна холодильника, а y ‑ відповідна їхня кількість. Нехай функція пропозиції має вид х = 300 + 0,1у. При яких значеннях х и у наступає рівновага? Вирішити систему матричним методом (методом оберненої матриці).

Розв’язання: Система рівнянь, що задає рівності попиту і пропозиції, має вид:

У матричній формі:

Відкіля:

Відповідь: рівновага попиту і пропозиції на холодильники наступає при ціні 4200 гр.од. і їхній кількості 39000.

Поиск по сайту: