5.1.Знайти довжину вектора , якщо відомі координати точок А(2; -1), В(-3; 0), С(5; -2).
Розв¢язання.
1) Якщо вектор має своїм початком точку А(х1; у1; z1), а кінцем точку В(х2; y2; z2), то координати вектора обчислюються за правилом:
2) Якщо то
3)Якщо то довжина . Тоді
5.2.Знайти орт вектора
Розв’язання.
,
Тоді
Відповідь:
5.3.У трикутнику з вершинами А(2;-1;3), В(-2;2;5), С(1;2;3) знайти кут при вершині А.
Розв¢язання.
тоді
cosj=
j » arccos 0,763 »40°18¢.
5.4.Знайти точку D так, щоб чотирикутник АВСD був паралелограмом, якщо
А(-2; 0), В(1; -3), С(2; 5).
Розв¢язання.
Якщо АВСD- паралелограм, то а два вектори рівні, якщо рівні відповідні координати. Позначимо через х,у невідомі координати точки D. Тоді
З умови рівності координат маємо:
2 –х = 3, 5-у =-3, звідси х = -1, у = 8.
Отже, одержали координати точки D (-1; 8).
5.5.Знайти точку С на осі Оy так, щоб кут АВС був прямим, якщо задані точки А(6; 4), В(-2; 5).
Розв¢язання.
Введемо (0; у) –координати точки С. Необхідною та недостатньою умовою ортогональності векторів є рівність нулю їх скалярного добутку: Скористуємося формулою для обчислення скалярного добутку:
де
Тоді маємо 8×2 -1×(у-5) =0, 16 – у + 5 =0, у = 21.
Отже, маємо С(0; 21).
5.6.Розкласти вектор по векторах та
Розв¢язання.
Розкласти вектор по векторах означає представити його у вигляді лінійної комбінації
- поки ще невідомі числа. Переходячи до координат, одержимо
У результаті приходимо до системи рівнянь
,
вирішуючи яку, знаходимо:
Звідси
5.7.Скласти рівняння прямої, що проходить через точки М(-1; 3) та N(2; 5)
Розв’язання.
Скористаємося рівнянням прямої на площині, що проходить через точки М1(х1; у1)та М2(х2; у2):
.
Підставляючи в це рівняння наші дані, одержуємо
або .
Рівняння має вигляд 2х –3у +11= 0.
Корисно перевірити, що рівняння складено вірно. Для цього достатньо показати, що координати точок М та N задовольняють рівнянню прямої. Дійсно, рівності
5.8.Дані вершини трикутника: M(0;1); N(6;5) та С(12;-1). Скласти рівняння висоти трикутника, проведеної з вершини С.
Розв’язання.
Скористаємося рівнянням прямої на площині, яка проходить через точку C(x0; y0)та має вектор нормалі :
A(х-х0) + В(у-у0) =0.
Зі схематичного рисунка видно, що в якості вектора нормалі прямої СК можна взяти вектор . Тоді маємо:
6(x-12) + 4(у+1) =0, звідки одержуємо 3х +2у –34 =0.
5.9.Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М(-2; -5) і паралельно прямій 3х +4у +2 =0.
Розв’язання.
З схематичного рисунка бачимо, що вектор нормалі даної прямої є і вектором нормалі шуканої прямої. Тоді, застосувавши рівняння з попередньої задачі, маємо:
3(х+2) + 4(у+5) =0, звідки 3х + 4у +26 =0.
5.10.Дані вершини трикутника А(-2; -3), В(5; 4) та С(-1; 2). Скласти рівняння медіани АМ.
Розв’язання.
Точка М –середина сторони ВС, тому
.
Використовуючи рівняння прямої, що проходить через точки А і М, знаходимо рівняння медіани АМ: звідки 3х-2у=0.
5.11.Провести серединний перпендикуляр відрізка АВ, де А(0; -2), В(4; 0).
Розв’язання.
Маємо С(2; -1). Розглядаючи як вектор нормалі шуканої прямої, маємо: 4(х-2) +2(у+1) =0, звідки 2х + у –2 =0.
Визначимо координати точки В. Розв’язуючи систему рівнянь
х + 3у –7= 0 та 4х –у- 2= 0, одержимо х=1,у= 2, тобто В(1;2). Скористаємося формулою для обчислення відстані від
точки М0( х0;у0)до прямої Ах +Ву + С =0:
Знаходимо довжину висоти ВВ1 як відстань від точки В до прямої АС:
5.13.Знайти проекцію точки Р(4;9)на пряму, що проходить через точки А(3; 1) та В(5; 4).
Розв’язання. Проекція точки на пряму- це основа перпендикуляра, опущеного з точки на пряму. Для її одержання достатньо розв”язати сумісно рівняння прямої АВ і прямої, що проходить через точку Р перпендикулярно АВ.