3.1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера.
Складемо матрицю системи рівнянь, обчислимо визначник системи та додаткові визначники:
Відповідь: х = 2 ; y = -2 ; z = 1.
3.2. Розв’язати систему лінійних рівнянь, подану в прикладі 1, за допомогою оберненої матриці.
При розв’язуванні попереднього прикладу ми склали матрицю системи А і обчислили визначник . Визначник матриці А не дорівнює нулю, тому матриця А має обернену. Обчислимо алгебраїчні доповнення всіх елементів матриці:
,
Знайдемо обернену матрицю
.
Тоді
.
Відповідь:
3.3. Розв’язати систему лінійних рівнянь, подану у прикладі 1, методом Гаусса:
Виключаємо невідоме х із другого і третього рівнянь
y= – 2
3 z = 5 + y; 3z = 3; z = 1
x = – 3 – 2y + z; x = – 3 – 2 (–2) + 1 = 2
Таким чином, x = 2, y = -2, z = 1.
Відповідь: x = 2, y = -2, z = 1.
3.4. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гаусса:
Виключаємо невідоме х1 із другого і третього рівнянь
Ділимо друге рівняння на (-6) і виключаємо невідоме х2 з третього рівняння
Розглянувши третє рівняння, робимо висновок, що система рівнянь не має розв’язків (система лінійних рівнянь несумісна).
3.5. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса
Ділимо перше рівняння на 3 і виключаємо невідоме х1 з другого і третього рівнянь
Ділимо друге рівняння на і виключаємо х2 з третього рівняння
Останнє рівняння є тотожністю, його можна відкинути. Одержимо систему
Покладаємо х3 = t. Тоді з другого рівняння
і з першого рівняння
.
Таким чином, загальний розв’язок системи рівнянь має вигляд
,
де t може приймати будь-які числові значення.
Відповідь: - будь-яке число.
3.6. Розв’язати систему лінійних рівнянь, наведену у прикладі 1, методом Жордана – Гаусса.
х
у
z
bi
1
-1
-1
-1
-3
-1
-1
-1
-1
-6
-7
-3
-1
-1
-2
-7
-1
-1
-2
-1
0
-1
-2
-1
-2
-1
Пояснення до розрахункової таблиці
Обираємо розв’язувальний елемент а31 (розв’язувальний рядок – третій). Елементи стовпця контрольної суми ( S ) обчислюємо як суму елементів відповідного рядка (наприклад, для першого рядка: 1 + 2 + (-1) + (-3) = -1).
Шляхом елементарних перетворень (множенням елементів розв’язувального рядка на (-1) і додаванням до відповідних елементів першого рядка та множенням елементів розв’язувального рядка на (-2) і додаванням до відповідних елементів другого рядка) обчислимо всі елементи першого та другого рядків, у тому числі і елементи стовпця контрольної суми (розв’язувальний рядок залишається без змін). У результаті виконаних дій одержуємо одиничний вектор у розв’язувальному стовпці. Робимо перевірку правильності розрахунків, порівнюючи суму елементів кожного рядка з відповідним елементом контрольного стовпця.
На другому кроці розв’язувальним елементом може бути обраний будь-який, що не розташований у третьому рядку та першому стовпці, так як на першому кроці розв’язувальним був елемент а31. Обираємо, наприклад, а12 (тепер розв’язувальний рядок – перший). Слід звернути увагу на коефіцієнт при розв’язувальному елементі: він повинен дорівнювати одиниці. Щоб виконати дану умову, необхідно елементи розв’язувального рядка помножити на 1/3, і далі виконувати дії, як і на попередньому кроці. Таким чином, одержимо три одиничних вектори у перших трьох стовпцях розрахункової таблиці. Розв’язок системи знайдемо у стовпці вільних членів (bі) проти відповідних одиниць ( з першого рядка: у = -2, з другого рядка: z = 1, з третього рядка: х = 2).
Відповідь: x = 2, y = -2, z = 1.
3.7. Дослідити систему на сумісність.
Виконаємо елементарні перетворення над розширеною матрицею системи:
.
Визначимо ранг матриці А, розширеної матриці та кількість невідомих системи рівнянь:
r (A) = r (A*) = n = 3
За теоремою Кронекера-Капеллі система визначена і сумісна.