Розділ 5. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ ТА АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

Тема 1.8. Вектори на площині і в просторі та дії з ними. n-вимірний векторний простір

1. Поняття вектора на площині і в просторі.

2. Геометричне додавання, віднімання векторів та множення вектора на скаляр.

3. Проекція вектора на вісь.

4. Координати вектора і запис його через орти.

5. Довжина і напрямні косинуси вектора.

6. Скалярний добуток векторів і кут між векторами.

7. Властивості скалярного добутку векторів.

8. Умови паралельності і перпендикулярності векторів.

9. Векторний добуток векторів та його властивості.

10. Знаходження координат векторного добутку за координатами співмножників.

11. Мішаний добуток векторів та його геометричне тлумачення.

12. Поняття n-вимірного векторного простору та його базису.

Література:

[1], т. І, с. 125-139.

[2], с. 227-238.

[3], с. 82-115.

Задачі, рекомендовані до розв’язання:

[3], с.114, № 2.30-2.44.

Питання для самоконтролю

1. Що таке вектор? Які вектори є рівними?

2. Як знайти суму і різницю двох векторів?

3. Що є вектором, помноженим на скаляр?

4. Якими властивостями володіють операції складання векторів і множення векторів на скаляр?

5. Що таке координати вектора? Як знайти координати вектора по координатах його початку і кінця?

6. Дати визначення скалярного добутку.

7. Яка необхідна і достатня умова перпендикулярності векторів?

8. Перерахувати властивості скалярного добутку.

9. Як обчислити ?

10. Чому рівний скалярний добуток векторів, розкладених по ортам? Модуль вектора?

11. Як знайти одиничний вектор, сонаправлений з ?

12. Дати визначення векторного добутку.

13. Дати визначення змішаного добутку.

14. Два вектори називаються колінеарними, якщо….

15. Три вектори називаються компланарними, якщо…..

16. Ортом вектора називається

17. Добутком вектора на число х називається

18. Різницею двох векторів називається

19. Що називається координатами вектора?

20. Що можна сказати про координати рівних векторів?

21. Зобразити в прямокутній системі координат на площині вектор, у якого обидві координати від’ємні.

22. Зобразити в прямокутній системі координат ХOY вектор, у якого перша координата – від’ємна, а друга – додатна.

23. Зобразити в прямокутній системі координат ХOY вектор, у якого перша координата – нульова, а друга – від’ємна.

24. Зобразити в прямокутній системі координат ХOY вектор, у якого перша координата – від’ємна, а друга – нульова.

25. Як знайти координати вектора за відомими координатами початку та кінця?

26. Як знайти координати середини відрізка за відомими координатами кінців відрізка?

27. Зобразити та описати трійку векторів, яку називають координатним базисом прямокутної системи координат у прямокутному просторі.

28. Зобразити та описати сукупність двох векторів, які утворюють координатний базис прямокутної системи координат на площині.

29. Запишіть усі відомі Вам формули для обчислення скалярного добутку двох векторів.

30. Якій умові задовольняють вектори, скалярний добуток яких є додатним числом?

31. Якій умові задовольняють вектори, скалярний добуток яких є від’ємним числом?

32. Якій умові задовольняють вектори, скалярний добуток яких дорівнює нулю?

33. Якій умові задовольняють вектори та , якщо

34. Якій умові задовольняють вектори та , якщо

35. Наведіть приклад лінійної комбінації векторів =(4; -3), =(0; 2),

=(1;-1).

36. Наведіть приклад лінійної комбінації векторів =(3; 2; 1), =(1; -1; -1).

37. Система яких векторів називається лінійно-незалежною?

38. Система яких векторів називається лінійно-залежною?

39. Знайдіть орт вектора =(-3; -4).

40. Записати розкладання вектора =(2; 0; -5) за координатним базом прямокутної системи координат.

41. Вказати координати вектора .

42. Заповнити пусті місця будь-яким можливим способом, якщо відомо, що вказані вектори є колінеарними: =(3; *; 2), =(*; 4; *).

43. Заповнити пусті місця, якщо точка M(2; -1) –середина відрізка KN, K(*; 3), N(4; *).

44. Заповнити пусте місце, якщо відомо, що дані вектори ортогональні:

=(5; 1; 2), =(*; 0; 3).

45. Підібрати невідому координату вектора =(-3;0;*), якщо відомо, що .

46. Підібрати невідому координату вектора =(0; *; -4), якщо .

Результат виконання роботи: конспект, виконання домашнього завдання.

Форма контролю:перевірка конспекту,усне опитування, обговорення питань, тестування, контрольна робота за модулем № 2.

Тема 1.9. Пряма на площині

1. Поняття рівняння лінії на площині та її порядку.

2. Пряма як лінія першого порядку.

3. Рівняння прямої на площині, яка: а) проходить через дану точку паралельно заданому вектору; б) проходить через дану точку і має заданий кутовий коефіцієнт; в) відтинає на осі ординат даний відрізок і має заданий кутовий коефіцієнт; г) проходить через дві дані точки; д) відтинає дані відрізки на осях координат; е) проходить через дану точку перпендикулярно до заданого вектора.

4. Загальне рівняння прямої та його дослідження.

5. Кут між двома прямими, умови паралельності і перпендикулярності прямих.

6. Відстань точки до прямої.

7. Пряма як лінійна математична модель в економіці.

Тема 1.10. Лінії другого порядку на площині

1. Загальне рівняння лінії 2-го порядку на площині.

2. Нормальне рівняння кола.

3. Канонічне рівняння еліпса та його основні характеристики.

4. Канонічне рівняння гіперболи та її основні характеристики.

5. Канонічне рівняння параболи та її основні характеристики.

6. Зведення загального рівняння лінії другого порядку до канонічного вигляду.

7. Лінії другого порядку як математичні моделі економічних процесів.

Література:

[1], т. І, с. 142-157

[2], с.239-250.

[3], с. 116-167.

Задачі, рекомендовані до розв’язання:

[2], с. 298, №32-96.

Питання для самоконтролю

1. Рівняння прямої на площині, яка проходить через задану точку та має вектор нормалі.

2. Рівняння прямої на площині, яка проходить через задану точку та має напрямний вектор.

3. Загальне рівняння прямої на площині.

4. Наведіть приклад рівняння горизонтальної прямої на площині.

5. Наведіть приклад рівняння вертикальної прямої на площині.

6. Наведіть приклад рівняння прямої на площині, яка проходить через початок координат.

7. Наведіть приклад рівняння прямої на площині, яка утворює з віссю ОХ кут 45⁰.

8. Рівняння прямої на площині, яка проходить через дві задані точки.

9. Наведіть приклад рівняння прямої на площині, яка паралельна осі ОХ.

10. Наведіть приклад рівняння прямої на площині, яка паралельна осі ОУ.

11. Формула для знаходження кута між двома прямими на площині.

12. Умова паралельності двох прямих на площині.

13. Умова перпендикулярності двох прямих на площині

14. Формула для знаходження відстані від заданої точки до прямої на площині.

15. Канонічне рівняння еліпса.

16. Канонічне рівняння гіперболи.

17. Канонічне рівняння параболи.

18. Рівняння кола.

19. Написати формулу ділення відрізка в даному відношенні.

20. Написати формулу рівняння прямої в загальному вигляді. Який сенс коефіцієнтів при x і у?

21. Написати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Який сенс коефіцієнта при x?

22. Написати рівняння прямої, що проходить через точку в даному напрямі.

23. Написати рівняння прямої, що проходить через дані дві точки.

24. Як знайти кут між прямими?

25. Написати умову паралельності прямих.

26. Написати умову перпендикулярності двох прямих.

27. Написати формулу для знаходження відстані від точки до прямої.

Результат виконання роботи: складання конспекту, виконання домашнього завдання.

Форма контролю:перевірка конспекту,усне опитування, обговорення питань, тестування, контрольна робота за модулем 2.

Тема 1.11. Площина і пряма у просторі

1. Поняття рівняння поверхні у просторі та її порядку.

2. Площина як поверхня першого порядку.

3. Рівняння площини у просторі, яка: а) проходить через дану точку перпендикулярно до заданого вектора; б) проходить через три дані точки; в) відтинає на осях координат задані відрізки.

4. Загальне рівняння площини у просторі та його дослідження.

5. Кут між двома площинами та умови паралельності і перпендикулярності площин.

6. Відстань точки до площини.

7. Рівняння прямої у просторі, яка проходить через дану точку паралельно до даного вектора (канонічне рівняння прямої).

8. Параметричне рівняння прямої у просторі.

9. Пряма у просторі як перетин двох площин у просторі та зведення його до канонічного вигляду.

10. Кут між двома прямими у просторі та умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.

11. Відстань точки до прямої у просторі.

12. Кут між прямою і площиною у просторі.

13. Пряма і площина у просторі як лінійні математичні моделі економічних процесів.

Тема 1.12. Поверхні другого порядку у просторі

1. Нормальне рівняння сфери.

2. Канонічне рівняння еліпсоїда.

3. Рівняння еліпсоїдів обертання навколо осей координат.

4. Однопорожнинні і двопорожнинні еліпсоїди обертання навколо осей координат.

5. Загальне канонічне рівняння одно порожнинного і двопорожнинного еліпсоїдів обертання навколо осей координат.

6. Рівняння параболоїда обертання.

7. Канонічне рівняння параболоїда.

8. Рівняння циліндричної поверхні.

9. Круговий, еліптичний, параболічний циліндри.

10. Рівняння канонічної поверхні.

11. Рівняння кругового та еліптичного конусів.

12. Поверхні другого порядку як математичні моделі економічних процесів.

Література:

[1], т. І, с.162-169.

[2], с.269-291.

[3], с. 154-170.

Задачі, рекомендовані до розв’язання:

[3], с.167, № 3.71-3.76

Питання для самоконтролю:

1. Наведіть приклад рівняння прямої у просторі, яка проходить через початок координат.

2. Рівняння прямої у просторі, яка проходить через дві задані точки.

3. Наведіть приклад рівняння прямої у просторі, яка паралельна осі ОХ.

4. Наведіть приклад рівняння прямої у просторі, яка паралельна осі ОУ.

5. Умова паралельності двох площин.

6. Умова паралельності двох прямих у просторі.

7. Умова перпендикулярності двох площин.

8. Умова перпендикулярності двох прямих у просторі.

9. Умова паралельності прямої у просторі та площині.

10. Умова перпендикулярності прямої у просторі та площині.

11. Наведіть приклад площини, яка проходить через початок координат.

12. Рівняння сфери.

13. Рівняння площини, яка проходить через задану точку та має заданий вектор нормалі.

14. Загальне рівняння площини. Який сенс коефіцієнтів при x, у, z?

15. Рівняння площини, яка проходить через три задані точки, що не лежать на одній прямій.

16. Навести приклад рівняння площини, яка паралельна осі ОХ.

17. Навести приклад рівняння площини, яка паралельна осі ОУ

18. Написати формулу для обчислення кута між двома площинами. Як умова паралельності двох площин? Перпендикулярності двох площин?

19. Написати канонічне рівняння прямої в просторі.

20. Написати формулу для знаходження відстані від точки до площини.

Результат виконання роботи: конспект, виконання домашнього завдання.

Форма контролю:перевірка конспекту,усне опитування, обговорення питань, тестування, контрольна робота за модулем 2.

Модуль 3

Поиск по сайту: