Некоторые замечания по введению аппарата теории подобия

Полученные выше уравнения характеризуют однородные и неоднородные среды в произвольных пространственно-временных точках. Такие уравнения в общем случае не отражают в явном виде многообразия реальных эффектов, например, множественность структур газожидкостных систем, их устойчивость, разнообразие волн и внутренних масштабов.

Спонтанно появляющиеся и разрушающиеся границы раздела фаз создают условия неустойчивости системы в целом: для местных и общих структурных деформаций и переходов. Введение в уравнения движения и энергии дополнительных членов, учитывающих механическое и тепловое взаимодействие между фазами и существенно усложняющие формулировку граничных и начальных условий, приводит к тому, что в настоящее время чисто аналитическое исследование процессов возможно лишь при приближенной постановке задачи. Это заставляет допускать упрощение уравнений как отбрасыванием несущественных для данной задачи членов, так и заменой сложных точных связей между величинами приближенными и более простыми.

Оценка влияния отдельных членов уравнений, принятых допущений осуществляется экспериментальной проверкой и численными методами решения. Обобщение и перенос на аналогичные явления этих данных оказывается более простыми при переходе от обычных физических величин к величинам комплексного типа, составленным определенным образом в зависимости от природы процесса. В этом случае уменьшается число переменных и более отчетливо выступают внутренние связи, характеризующие явление в целом. Такую замену обычных переменных обобщенными в расчетах и исследованиях сложных систем принято называть теорией подобия (ТП) и анализом размерностей (АР) .

Одной из основных задач ТП является установление правил, по которым можно производить обобщения и распространять результаты опытов, проведенных в одних условиях, на другие, а также определение границ применимости этих обобщений. Видно, что для анализа процессов в сплошных средах с их сложным характером ТП является очень важным инструментом.

В зависимости от характера наших знаний об исследуемом процессе возможны два способа вывода обобщенных переменных. Первый – используется в тех случаях, когда известны основные уравнения, описывающие процесс. Эти уравнения записываются в безразмерной форме, когда каждый член одного уравнения равен соответствующему члену другого с множителем в виде постоянного числа, одинакового для всех членов уравнения. Анализ условий, при которых имеет место тождественность безразмерных форм уравнений, позволяет выявить обобщенные переменные, называемые критериями подобия.

Если вывести уравнения не удается, а известны соотношения, характеризующие процесс только в самых общих чертах, единственно возможным теоретическим методом исследования является анализ размерностей (АР). Этот путь предполагает глубокое знание физических особенностей процесса и заключается в выборе системы размерностей, составлении перечня величин, существенных для данного процесса, и определении числа обобщенных переменных.

При АР наибольшее число безразмерных комплексов, описывающих данный процесс, определяется формулой i=n-m, где n- число размерных параметров, характеризующих процесс; m- число первичных размерностей. Далее формулы размерности преобразуются в степенные комплексы. Оба способа вывода обобщенных переменных опираются на отчетливые представления о механизме процесса. Однако для применения ТП необходим большой объем знаний, который был бы достаточен для вывода определяющих уравнений. В рамках ТП выясняется физический смысл критериев подобия. Ее аппарат проще, чем аппарат метода АР.

При широком развитии экспериментальных исследований сплошных сред исключительно важно знать законы моделирования, допускающие перенос модельных испытаний на натуру. Даже для простых процессов, кроме геометрического подобия и равенства граничных условий, необходимо совпадение ряда безразмерных параметров. Количество этих параметров или условий настолько велико, что одновременное и строгое их выполнение в большинстве случаев делает невозможным модельные испытания. В то же время из опыта известно, что некоторые критерии подобия в определенном диапазоне изменения оказывают на конечный результат лишь незначительное влияние. Так, например, если скорости остаются намного меньше скорости звука, то можно не принимать во внимание число Маха, в то время как числа Рейнольдса учитываются тогда, когда они относительно невелики (пример, течение у стенки трубопровода).

Замечание: задача ТП и МАР заключается также и в том, чтобы установить влияние отдельных критериев на конечные результаты исследований и определить допустимые границы частичного моделирования процессов.

Основные теоремы

1 теорема. У подобных явлений одноименные числа подобия одинаковы.

Эта теорема указывает условия, при которых результаты, полученные при исследовании математической модели, могут быть перенесены на натуральный объект.

Доказательство теоремы иллюстрируется конкретным примером подобия гидродинамических и тепловых процессов.

2 теорема. Подобны только те явления условия однозначности, которых подобны.

Теорема показывает как входные и начальные условия в математической модели подобных процессов определяют решения задач данного класса. Доказательство для газожидкостных систем.

3 теорема (π-теорема Ваши-Бекингема). Связь между (n+1) размерными параметрами (a₁, a₂, … , a_k, a_k+1, … ,a_n) в безразмерном виде имеет соотношение между (n+1-k) величинами П₁, П₂, … , П_n-k. Здесь П₁, П₂, … , П_n-k - безразмерные комбинации из (n+1) величин.

Теорема указывает путь получения чисел подобия, при этом использование безразмерной формы записи исходных уравнений и ГУ позволяет снизить степень конкретизации данной задачи, т.е. результаты единичного расчета в безразмерном виде оказываются справедливыми по отношению к бесконечному набору геометрически и физически подобных процессов. Дается доказательство теоремы для широкого круга термодинамических процессов.

В качестве законов подобия для тепловых и динамических процессов стоит упомянуть такие как законы Стокса, Блазиуса, Никурадзе – для гидродинамических течений, Кейса-Кроуссольда, Диттуса-Белтера – для тепловых, Шервуда-Джиллилаида – для диффузионных. Они касаются формулировки интегральных параметров тепло- и массообмена внешних и внутренних процессов. Что качается локальных параметров, то здесь стоит вести речь о законах для конкретных типов течений и тепломассопереноса, например, вязкого, вязко-инерционного, вязко- инерционно- гравитационного, прямоточного и закрученного потока, инертного и химически реагирующего, изотермического и неизотермического течения однофазного и многофазного течения смеси. Все рассматриваются в курсе.

Поиск по сайту: