Замечания по математической обработке результатов измерений

Процесс измерения состоит из: 1) наблюдений; 2) отсчетов.

Задача наблюдений (1) – зафиксировать факт наступления определенного события.

Задача (2) – считывание результатов измерений со шкалы прибора.

Процесс измерения выражают уравнения измерения (УИ), которые делится на: 1) прямые; 2) косвенные; 3) совместные.

Опр.: Если УИ имеет вид

Y=CX, (1)

то измерения наз. прямыми.

Здесь х- отсчет по измерительному прибору в делениях шкалы или отсчет с цифрового табло; с- цена деления шкалы или единичного показания цифрового табло; у – значение измеряемой величины в принятых для нее единицах.

Опр.: Измерения наз. косвенными, если УИ имеют вид

Z=f(x, y, …, a, b, …), (2)

где x, y, … - результаты прямых измерений; a,b, …- физические константы и постоянные приборы; z – значение измеряемой величины в принятых для нее единицах.

Пример. Измерение скорости потока в трубопроводе по перепаду давления.

Опр.: Измерения наз. совместными, если УИ для этих величин.образуют систему линейно-независимых уравнений.

Пример. Для двух измеряемых величин α, β УИ имеют вид:

f₁(α, β, x₁ , y₁ , …, а₁ , b₁ ,, …)=0 ;

f₂(α ,β, x₂ , y₂ , …, a₂ , b₂ , …)=0,

где x₁ , y₁, ..., x₂ , y₂, ...- результаты прямых или косвенных измерений;

а₁ , b₁, ..., a₂ , b₂, ...- физические постоянные или постоянные приборов.

Измерения одной и той же величины имеют ошибки: прибора, округления, измерений, промахи (грубые ошибки), вычислений.

Опр.: Ошибка измерения – разность , x – результат измерения, μ- истинное значение.

С понятием ошибки связано понятие точности измерений, чем меньше ошибки, тем выше точность.

Задача математической обработки опыта – оценка истинного значения измеряемой величины по получаемым результатам. Иначе, получение приближенного значения μ с возможно меньшей ошибкой.

Ошибки включают: 1) грубые; 2) системные (СО); 3) случайные.

Так, (1) – возникают из-за нарушения основных условий опыта. В этом случае результат измерений отбрасывают. (2) – ошибка, которая остается постоянной во всей серии измерений. Они влияют на результат. Пример: опыт проводится на приборе с неверной регулировкой; смещением начала отсчета; изменением внешних условий по T и P, которые влияют на результат измерений.

Методы устранения СО. 1. Изучение источников ошибок, вызываемых каждым фактором, тарировка прибора на эталонном случае. 2. Устранение источников ошибок: правильная установка прибора, исключающая взаимные влияния.

Опр.: Случайная ошибка (СлО) – ошибка, которая изменяется от одного измерения к другому самым неправильным образом и в равной степени может быть как положительной, так и отрицательной.

СлО возникает как результат совместного влияния случайных факторов, действия которых незначительны для выделения из общего числа ошибок. Ее рассматривают как суммарный эффект действия таких факторов. СлО являются неустранимыми, их нельзя исключить в каждом из результатов измерений. Для оценки СлО используют аппарат теории вероятности и математической статистики.

1.1. Основные понятия

Опр. : Случайной величиной (СВ) наз. переменная, значение которой зависит от случая. СВ бывает: 1) дискретная; 2) непрерывная.

Опр.: СВД – это величины, принимающие только отделенные друг от друга значения.

Опр. : СВН – это СВ, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток.

СВ ς всегда связана с некоторой функцией f(x) плотности распределения вероятностей СВ. Из теоремы о сложении вероятностей имеем

- вероятность попадания ς в интервал [x₀, x₁]. Т.к. СВ всегда принимает какое-либо значение, то вероятность того, что наверняка попадем в интервал -[∞, +∞] есть . Это условие нормировки.

Опр.: Функция распределения СВ в точке x: F(x) наз. величина

.

Для СВД также можно определить функцию плотности и функцию распределения. Наиболее полная характеристика СВ дается ее функцией распределения, которая указывает на то, какие значения может принимать СВ и с какими вероятностями.

Для обработки СВ в теории вероятности вводятся количественные характеристики:

1) математическое ожидание (среднее значение) М(x).;

2) дисперсия ;

3) моменты различных порядков.

Дадим определения этим понятиям.

Пусть x₁ , x₂, x₃, , , x_n – возможные значения СВД. P₁ , P₂, P₃, , , P_n – соответствующие им вероятности. Тогда наз. математическим ожиданием СВ ς, μ – результат суммирования. Если вероятности всех x_i равны, то , где n – число значений x, тогда имеем .

Опр.: Для СВН: Если СВ ς непрерывна и f(x) – ее плотность распределения, то математическим ожиданием (средним значением) для ς наз. интеграл

, (1)

где μ – результат вычисления интеграла.

Опр.: Дисперсия (разброс СВ относительно среднего значения) характеризуется:

, (2)

где - результат вычисления интеграла; - среднее значение квадрата СВ:

.

Опр.: Отклонением стандартным или среднеквадратичным наз. .

Для сравнения рассеяния различных случайных величин определяют относительное стандартное отклонения .

Примеры функции плотности распределения – прямоугольное равномерное распределение, нормальное распределение (распределение Гаусса).

1.2. Понятие о выборке

Формулировка задача. Предположим: требуется измерить величину l₀. Выполнив ряд измерений, имеем набор чисел: x₁, x₂, x₃, … . Какое значение из них следует принять за значение l₀?

Методика. Из-за влияния ошибок измерения имеем результат измерения СВ – ς, которая имеет некоторую функцию распределения. Если бы эта функция была известна, то можно условиться: принять за l₀ одну из характеристик СВ, например, ее среднее значение. Однако на практике возникают ситуации.

Функция распределения неизвестна. Поэтому предполагается следующее. Имеет место нормальное распределение, но параметры распределения μ, σ неизвестны. Если возможно производить множество измерений, тогда можно определить функцию плотности и среднее значение.

Т.к. число опытов n конечно для ς, то имеем наблюдения: x₁, x₂, x₃, … x_n. Эти x_i наз. случайной выборкой объема n из возможных значений ς.

Из математической статистики имеем: по результатам каждой выборки x₁, x₂, x₃, … x_n можно определить величину среднего значения μ и дисперсию σ распределения ς.

Тогда, пусть

- выборочное среднее значение СВ ς. (1)

Выборочная дисперсия СВ:

, (2)

среднее значение СВ- , (3)

дисперсия СВ . (4)

При больших значениях n СВ мало отличается от μ

На этом основывается обстоятельство, что выборочное среднее значение СВ по (1), принимается в качестве оценки значения μ.

Кроме того,

,

.

Т. е. стандартное отклонение ( ) при больших объемах выборки может быть как угодно малым.

Таким образом, при больших n СВ S² будет как угодно мало отличаться от среднего значения σ². С учетом сказанного S² [по (2)] берется в качестве оценки значения σ².

В данном случае для оценки стандартного отклонения величины , которое обозначим имеем:

. . (5)

Выводы. 1) по формуле (5) вычисляем оценку среднего значения μ (она наз. точечной оценкой).

2) выборочное значение – стандартное отклонение этой оценки – позволяет судить о том, как сильно величина может отличаться от среднего значения μ.

Итак, на данном этапе мы нашли величину μ функции распределения величины .Однако, сама функция распределения неизвестна.

Для ее построения используем формулы (1), (5), которые дают доверительный интервал

. (6)

Здесь k_α – положительное число, зависящее от параметра α, где α – коэффициент доверия - вероятность того, что μ заключено внутри интервала (6).

Доверительный интервал можно построить, если известны: 1) функция плотности f( ); 2) дисперсия СВ .

Действительно, вероятность

. (7)

Из (7) для заданного α можно определить . Кроме того, можем записать

. (8)

И для коэффициента доверия α имеем интервал для μ

. (9)

Здесь не зависит от конкретного значения μ. Для его определения необходимо задать закон распределения .

1. В случае , если известно, что ς и распределены по нормальному закону и дисперсия не задана, то интервал, в котором может находиться с заданной достоверностью α, имеет вид

. (10)

Здесь вычисляются по результатам измерений, - коэффициент Стьюдента по заданной надежности α и числу измерений n находится по таблицам.

2. Если функция плотности для СВ неизвестна, а дисперсия задана, то используя неравентсво Чебышева, можно построить интервал для μ:

. (11)

Это означает, что вероятность того, что μ лежит внутри интервала (11), не меньше α, причем γ_α определяется

.

Заметим, что в гидродинамических процессах учитывают ошибки: 1) случайные; 2) систематические. Первую группу составляют ситуации их учета: 1) указывается функция плотности; 2) когда систематические ошибки =0, то указывается интервал, в котором с установленной вероятоностью находится случайная ошибка; 3) указывается оценка стандартного отклонения.

Функцию плотности f(x) удается указать лишь в немногих случаях, когда она известна, иногда можно определить доверительный интервал. В остальных случаях вычисляется выборочное стандартное отклонение.

1.3. Математическая обработка результатов опыта

Завершая эксперимент необходимо выполнить расчеты, провести анализ результатов, сделать выводы.

При прямых измерениях получают выборочное среднее

. (1)

Оценку стандартного отклонения случайных ошибок имеем в виде:

. (2)

Далее определяем различные системные ошибки

, (3)

где соответственно приведены ошибки: прибора (определяется по паспорту), округления ( ), субъективных измерений.

Если известна а – поправка (или систематическая ошибка), то из результата измерений вычитаем а:

μ= -а. (4)

Зам.: 1. Если , то существенны только случайные ошибки.

2. Если случайные ошибки распределены по нормальному закону, то можно построить доверительные интервалы для коэффициента доверия α.

Окончательный результат представляется в виде:

1) , вероятность P=α; 2) : σ_Σ=…; ; n=…. Причем форма 1) работает, когда пренебрегают систематическими ошибками, 2) когда учитываются случайные и систематические ошибки.

1.4. Косвенные измерения

В случае косвенных измерений искомая величина z вычисляется по уравнению

z=f(x, y, …, a, b, …), (1)

где z- измеряемая величина, x, y, … - результаты прямых измерений, a, b, …- физические постоянные приборов измерений.

Для простоты изложения будем иметь , где -значение функции от выборочного значения среднего аргумента . Кроме того, пусть μ_x- истинное значение x.

Тогда представим

, (2)

Причем

. (3)

Разложение (2) предполагает, что для всех

. (4)

Связь (4) определяет интервал , для которого справедлива (2), т.е.

. (5)

Чтобы (5) было справедливо, необходимо определить верхнюю границу для СВ ( ), т.е. .

Рассмотрим случай, когда для результата прямого измерения существенны системные, случайные и приборные ошибки ( ) :

. (6)

Если α<0.8÷0.9, то

, (7)

где - предельная ошибка прибора, для оценки стандартного отклонения случайных ошибок имеем:

,

а различные системные ошибки представляются

.

Если СлО велики, то будет верхней границей. Если СлО малы, то ими можно пренебречь. Тогда окончательно (5) будет

. (8)

Для проверки (8) имеем 2 случая.

1. (8) не выполнимо. Разложение (2) нельзя применять для оценки .

2. (8) работает. Тогда

, (9)

где .

Согласно - для левой части (9),

- для правой части (9),

имеем , т.е. среднее значение функции от выборочного среднего значения аргумента равно искомому значению функции. Поэтому величина при выполнении (2) принимается за оценку μ_z.

Для определения возможных ошибок в запишем (6) в виде

. (10)

Подставляя (10) в (9) и возводя в квадрат, имеем

. (11)

Пусть

, (12)

где первое слагаемое отвечает за системные ошибки, второе – за случайные.

Таким образом, из (11) с учетом (12), имеем:

. (13)

Зам.: Соотношение (13) применяется для оценки стандартных отклонений различных систематических ошибок.

Для получения оценки стандартного отклонения СлО рассмотрим выражения:

. (14)

За оценку стандартного отклонения СлО примем:

. (15)

Кроме того, для случая, если

, (16)

то (13), (15) преобразуются

. (17)

Таким образом, полученные формулы (13), (15), (17) позволяют учесть ошибки косвенных измерений, при этом необходима последовательность действий по методике:

1) результаты измерений записываются в таблицу

2) для результатов прямых измерений (где i- номер аргумента) функции f надо вычислить

а) выборочно значение

б) выборочное значение стандартных отклонений

3) для каждого аргумента определить

а) суммарные системные ошибки

б) интервалы

.

4) Проверяем условие . Если «да», то действие 5), “нет” – измерения продолжают до тех пор пока условие не будет выполняться.

5) Вычисляем значение функции

.

6) вычисляем стандартное отклонение системных и случайных ошибок

.

7) задаем коэффициент доверия α. Окончательный результат записываем в виде:

а) , вероятность P=α, если СлО

малы;

б) когда учитываются случайные и систематические ошибки.

Зам.: при совместных измерениях используют метод наименьших квадратов.

Пример.

Поиск по сайту: