Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Тема 3. Електромагнетне поле. Струми зміщення



Фізичні поняття

·Струм зміщення – це темп зміни потоку електричної індукції

 

.

 

·Вихрове електричне поле – це електричне поле яке виникає внаслідок зміни в часі магнетного поля.

·Магнеторушійна сила– це циркуляція вектора напруженості магнетного по­ля вздовж замкненого контура

 

 

·Хвильове рівняння– це рівняння яке має вигляд

 

 

де –стала величина, – оператор Лапласа.

·Рівняння хвилі – це функція від координати і часу яка є роз­в’язком хви­льо­вого рівняння.

·Вектор Пойтінга– це вектор напрям якого вказує на напрям пе­ре­не­сення енергії електромагнетною хвилею, а величина дорівнює потужності яка припадає на одиницю площі хвильового фронту.

 

Постулати

Ø Закон повного струму: циркуляція вектора напруженості маг­нет­ного поля вздовж будь-якого замкненого контура дорівнює сумі потоку вектора густини струму та потоку темпу зміни вектора електричної ін­дукції через поверхню, яка спирається на цей контур.

 

 

Якщо використати означення магнеторушійної сили, струму про­від­ності та струму зміщення, то цей постулат можна сфор­му­лю­ва­ти про­стіше, а саме: магнеторушійна сила, яка виникає в певному зам­к­не­но­му контурі дорівнює сумі струмів провідності та зміщення що про­хо­дять через будь-яку поверхню, яка спирається на цей контур.

 

 

Задачі

(256) За допомогою теореми Стокса подамо закон повного струму в ди­фе­рен­ціяльній формі.

 

Теорема Стокса стверджує, що циркуляція будь-якого вектора вздовж певного замкненого контура дорівнює потоку ротора цього век­тора через поверхню, яка спирається на цей контур.

Згідно з цією теоремою

 

 

а закон повного струму набирає вигляду

 

 

або

 

.

 

Оскільки інтегрування в лівій і правій частинах цієї рівності від­бу­ва­ється в одній і тій же області, то з їх рівності випливає рівність під­інте­гра­льних виразів, тобто

 

 

Ми отримали диференціяльну форму закону повного струму. Другий доданок в цій формулі – це густина струму зміщення.

 

(257) На основі означень струму провідності та струму зміщення покажемо, що на ділянці кола змінного струму, що містить конденсатор, сила струму в провідниках дорівнює силі стру­му зміщення між обкладками конденсатора.

 

До ділянки кола з конденсатором (мал. 170) застосуємо послідовно озна­чення сили струму, означення ємності, зв'язок напруженості елек­т­ри­чного по­ля з напругою, формулу ємності плос­кого конденсатора, зв'язок між напруженістю та індукцією елек­тричного поля та індукцією елек­т­ри­чного поля та означенням потоку. Діста­немо

 

 

Ми отримали, що струм провідності в провідниках дорівнює струму зміщення. Очевидно, що цей струм зміщення оскільки він є темпом зміни потоку вектора електричної індукції локалізований між обкладками конденсатора.

 

(258) Покажемо, що з рівнянь Максвелла випливає хвильове рів­нян­ня.

Про диференціюємо закон повного струму за часом (у від­сут­ності струмів провідності).

 

Підставивши сюди

 

,

 

дістанемо

 

 

В це рівняння підставимо закон електромагнетної індукції

 

 

Застосувавши формулу

 

 

і врахувавши, що в заданій області простору відсутні не тільки струми провідності, а й електричні заряди ( тому згід­но з теоремою Остроградського-Гауса) дістанемо хвильове рівняння

 

 

Як і для механічних хвиль можемо позначити

 

 

Тоді хвильове рівняння набуває вигляду

 

 

Очевидно, що в скалярній формі це рівняння має вигляд

 

 

і якщо вектор залежить лише від координати х, хвильове рівняння має вигляд

Для вектора отримаємо таке саме рівняння. Для цього слід зі зга­даних двох рівнянь Максвелла виключити вектор (про­ди­фе­рен­ціювати закон електромагнетної індукції і підставити в нього закон повного стру­му).

 

(259) Доведемо, що будь-яка функція аргументом якої є або є розв’язком хвильового рівняння.

Отже функція має вигляд

 

,

 

або узагальнюючи

 

.

Знаходимо похідні які фігурують у хвильовому рівнянні (задача 258)

 

Підставимо отримані другі похідні у хвильове рівняння. Дістанемо тотожність

 

 

яка свідчить, що дійсно функція є розв’язком хвильового рів­нян­ня.

(260) Представимо рівняння електромагнетної хвилі у вигляді .

 

Оскільки будь-яка функція аргументом якої є є розв’язком хвильового рівняння, то і функція

 

(1)

де – стала величина, є його розв’язком, тобто є вона рівнянням хвилі.

Встановимо як пов’язана стала з параметрами хвилі.

Міркуємо так. Напруженість поля електромагнетної хвилі на­бу­ває свого максимального значення за умови

 

 

Умова сусіднього максимуму є

 

 

Віднявши від другої рівності першу дістанемо

 

 

Але – це відстань між двома сусідніми максимумами, тобто довжина хвилі , тому

 

 

Підставивши цей вираз в рівняння хвилі (1), дістанемо

 

,

 

або

 

 

Застосуємо означення періоду хвилі Т як часу протягом якого хвиля проходить відстань , тобто Тепер рівняння хвилі дістає вигляд

 

 

або

 

.

 

Оскільки хвильове рівняння для вектора електромагнетної хвилі таке ж як і для вектора , то розв’язок цього хвильового рів­няння також є рівнянням хвилі, тобто рівняння

 

 

також є рівнянням електромагнетної хвилі причому фази векторів і в електромагнетній хвилі однакові.

 

(261) На основі закону повного струму в диференціяльній формі дове­демо, що вектори і взаємно – нормальні.

 

Спрямуємо вісь вздовж век­тора (мал. 172) і обчислимо його ротор.

 

 

Оскільки вектори та лежать в площині ху то і вектор лежить в цій площині як їх лінійна комбінація, тобто він є нор­ма­ль­ним до вектора . Але згідно з зако­ном пов­ного струму

 

 

тому вектор є нормальним до век­тора , який своєю чергою співнап­рям­ле­ний з вектором . Отже вектор є нор­мальним до вектора і вектора .

 

(262) На основі двох рівнянь Максвела, а саме закону електро­маг­нет­ної індукції та закону повного струму знайдемо числове зна­чен­ня швидкості електромагнетної хвилі у вакуумі.

Поглянемо на хвильовий фронт пло­с­кої електромагнетної хвилі яка по­ши­рю­є­ться у вакуумі вздовж осі х і візьмемо до уваги, що всі три вектори , і є вза­є­мно-нормальні (мал. 171).

Застосуємо до цієї хвилі дифе­рен­ці­яльну форму рівнянь Максвела.

Позаяк струми провідності від­су­тні, то закон повного струму має виг­ляд

(1)

 

Знайдемо по черзі ліву і праву частини цієї рівності

 

 

Оскільки вектор напрямлений туди куди і вектор , то

 

 

і

 

 

Тепер рівняння (1) має вигляд

 

 

Ця рівність, очевидно, можлива лише за умови . З цієї умови і останньої рівності дістанемо

 

 

звідки

 

 

або

 

(2)

 

Закон електромагнетної індукції в диференціальній формі має вигляд

 

(3)

 

Знову знайдемо окремо ліву і праву частини цієї рівності

 

 

Представивши вектор як дістаємо, що

 

 

і на основі закону електромагнетної індукції (3)

 

 

Ця рівність можлива лише за умови , і тоді

 

,

 

звідки

 

 

або

 

 

З цієї рівності, і рівності (2) та формул зв’язку між векторами напруженості та індукції електричного та магнетного полів дістанемо

 

звідки

 

 

(263) На основі двох рівнянь Максвела, а саме закону електро­маг­нет­ної індукції та закону повного струму знайдемо вираз для швид­кості електромагнетної хвилі в середовищі.

Оскільки згадані рівняння Максвела однакові як у вакуумі так і в середовищі, то вивід формули для швидкості електромагнетної хвилі в середовищі буде такий самий як і для вакууму (попередня задача) аж до того моменту, коли нам слід буде використати формули зв’язку між величинам векторів напруженості та індукції відповідних полів, а саме

 

 

Таким чином формула для швидкості електромагнетної хвилі в середовищі буде мати вигляд

 

 

Позаяк для будь-якого середовища та , то швидкість електромагнетної хвилі в середовищі менша ніж у вакуумі.

Величину позначають і називають показником залом­лен­ня середовища. Бачимо, що показник заломлення

 

 

показує в скільки разів швидкість електромагнетної хвилі у вакуумі більша ніж в розглядуваному середовищі.

 

(264) На основі формул для густини енергії електричного та маг­нет­но­го полів знайдемо вираз потужності яка припадає на одиницю площі фронту електромагнетної хвилі.

Оскільки електричне і магнетне поле електромагнетної хвилі пере­бу­вають в одній і тій же фазі, то енергія цієї хвилі дорівнює сумі енергій електричного та магнетного полів, а об’ємна густина енергії дорівнює сумі відповідних об’ємних густин

 

 

Згідно з означенням об’ємної густини енергії

 

 

Підставивши сюди , де – площа хвильового фронту (мал. 173), помноживши отриману рівність на і поділивши на дістанемо

 

 

Врахувавши, що , і маємо

 

 

Ліва частина цього рівняння – це потужність яка припадає на одиницю площі фронту хвилі. Позначивши її буквою маємо

 

 

Введемо вектор

 

 

де – одиничний вектор нормалі до хвильового фронту і назвемо його вектором Пойтінга. Бачимо, що вектор Пойтінга напрямлений як і вектор тому він задовольняє обидвом ознакам вектора який є век­торним до­бут­ком двох векторів, а саме векторів і (довжина його дорівнює площі паралелограма побудованого на векторах і , а напрям задовольняє правилу знаходження напрямку вектора, який є векторним добутком двох векторів). Отже

 

 

Очевидно, що напрям вектора Пойтінга вказує на напрям в якому переноситься енергія.


Додатки

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.