Тема 5. Електромагнетна індукція

Фізичні явища

· Електромагнетна індукція – це явище виникнення ЕРС в зам­кне­но­му контурі, який обмежує поверхню, що пронизується змінним магнетним потоком.

· Самоіндукція – явище виникнення ЕРС в замкненому про­від­ному контурі внаслідок зміни сили струму в цьому ж контурі.

· Взаємоіндукція – явище виникнення ЕРС в провіднику внас­лі­док зміни сили струму в іншому провіднику.

· Скін-ефект – це явище тенденції протікання змінного струму ближче до по­верхні провідника.

Фізичні поняття

· Вихрові струми (струми Фуко) – струми, які виникають у про­від­никах недротоподібної форми внаслідок явища електро­маг­нетної індукції.

Фізичні величини

· Індуктивність провідника – це відношення магнетного потоку че­рез по­верхню, обмежену провідником, до сили струму в про­від­ни­ку, що спричинив цей магнетний потік (позначення L)

Фізичні системи й прилади

· Флюксометр – маленький плоский соленоїд (діаметром при­б­лизно 1см) приєднаний до гальванометра. Прилад призначений для вимірювання індукції магнетного поля.

Постулати

Ø Закон електромагнетної індукції (Фарадея): якщо магнетний по­тік, крізь поверхню, яка обмежена замкненим провідним контуром, змі­ню­ється у часі, то в цьому контурі виникає ЕРС, що дорівнює тем­пу зміни цього магнетного потоку, причому індукований в контурі струм має такий напрям, що створений ним магнетний потік прагне компенсувати ту зміну магнетного потоку, яка його спричинила.

Ø Закон електромагнетної індукції (Максвелла): змінне маг­нетне поле спричиняє виникнення вихрового електричного поля, цир­куляція нап­руженості якого вздовж будь-якого замкненого контура (уявного чи ре­аль­ного) дорівнює темпу зміни магнетного потоку крізь довільну поверхню, що обмежена цим контуром.

Задачі

(187) Перевіримо закон електромагнетної індукції Фарадея для від­різ­ка проводу, який рухається в однорідному магнетному полі норма­ль­но до його силових ліній.

Перевірка закону електромагнетної індукції в цьому випадку зво­ди­ться до того, що слід показати, що в проводі виникне ЕРС, яка дорівнює темпу зміни магнетного потоку.

Як тільки провід почне рухатися в магнетному полі з певною швид­кі­стю (мал. 126), то з боку цього поля на електрони почне діяти сила ,напрям якої, згідно з правилом правого гвинта, буде вниз, що спричинить рух електронів до цього кінця проводу. Цей рух, своєю чергою, призведе до порушення електро­ней­тра­ль­но­сті в проводі і, як наслідок, до ви­ни­к­нен­ня електричного поля, спря­мованого від верхнього кінця проводу до ниж­нього. Коли напру­же­ність електричного поля зросте до такої величини, що його сила зрів­ня­є­ться з силою магнетного поля, рух елек­тронів до ниж­нього кінця проводу при­пиниться.

Умова цього стану

або

а для модулів цих векторів

звідки

або

Зазначимо, що оскільки процес розділення зарядів у проводі безперер­вний то різниця потенціялів між його кінцями є насправді електрорушій­ною силою, тобто

Представивши далі швидкість як і внісши під знак похідної ста­лі і B, дістанемо

Застосувавши означення ЕРС та магнетного потоку, останню рів­ність можемо представити

(188) З’ясуємо, у чому полягає різниця між формулюваннями закону електро­маг­нет­ної ін­дук­ції Фарадея та Максвелла.

Закон електромагнетної індукції Фарадея передбачає існування про­відного контура, у якому має виникнути струм внаслідок ви­ник­нення в ньому ЕРС індукції, тоді як це й же закон у формулюванні Максвелла стверджує, що наявність провідного контура не обов’яз­ко­ва, вихрове елек­тричне поле виникає незалежно від його існування, а цими контурами є замкнені силові лінії вихрового електричного поля.

(189) На основі закону електромагнетної індукції Фарадея та оз­на­чен­ня маг­нетного потоку проаналізуємо способи, якими мож­на отри­мати ЕРС індукції.

Згідно з законом електромагнетної індукції та означенням маг­нетного потоку для випадку однорідного (не обов’язково стаціонар­ного) маг­нет­но­го поля

де S – площа обмежена контуром, – кут між вектором індукції маг­нет­но­го поля та нормаллю до цієї поверхні .

З останньої формули бачимо, що є принаймні три способи отри­мання ЕРС:

1) змінювати в часі індукцію магнетного поля ,

2) змінювати площу S,обмежену контуром,

3) змінювати кут між векторами і , наприклад, обертаючи контур.

Найбільш практичним є третій спосіб. Саме принцип обертання кон­тура в магнетному полі міститься в основі роботи генераторів змінної ЕРС, які генерують електричний струм на теплових, водних, атомних, вітрових та припливних електростанціях, і забезпечують на нинішній день основну частку електроенергії, яку споживає людство.

(190). Знайдено напрям індукованого струму у таких випадках елек­тро­магнетної індукції: а) провідний коловий контур є в одно­рід­ному маг­нет­ному полі, індукція якого змен­шусть­ся(мал. 127, (а)); б) провідний коловий контур деформують в постійному одно­рід­ному магнетному полі(мал. 127, (б)); в) провідний контур рів­но­мірно обертається в постійному одно­рід­но­му магнетному полі(мал. 127, (в)).

а) Внаслідок зміни магнетного потоку через поверхню, обмежену контуром у ньому виникає ЕРС згідно з законом електромагнетної індук­ції. Струм, який потече в ньому, має два можливі напрями – за годин­ни­ко­вою стрілкою чи проти. Припустимо, що він тече за годин­никовою стріл­кою. Тоді створене ним магнетне поле в області, об­ме­женій контуром, бу­де співнапрямлене з зовнішнім полем, яке спри­чи­нило цей струм, тобто магнетний потік індукованого струму під­три­муватиме магнетний потік зовнішнього поля, компенсуючи його ві­д’ємну зміну, що цілком від­по­ві­дає закону електромагнетної індук­ції.

Отже, напрям індуктивного струму вибрано правильно. Оче­видно, якщо б зовнішнє магнетне поле зростало, то струм потік би в проти­леж­но­му напрямі. Зазначимо, що ту частину закону електро­маг­нетної індукції Фарадея, яка говорить про напрям індукованого стру­му, називають прави­лом Ленца.

в) За обертання контура в магнетному полі (мал. 127, (б)) за першу чверть періоду обертання магнетний потік буде зменшуватися внаслідок збільшення кута між вектором індукції та вектором нормалі до площини контура. При цьому, очевидно, індукований струм потече за годин­ни­ко­вою стрілкою, тобто так, щоб його магнетний потік підтримував маг­нет­ний по­тік зовнішнього поля (або інакше кажучи протидіяв від’ємній зміні магнет­ного потоку зов­ні­ш­нього поля).

У другій чверті періоду обертання контура магнетний потік знову зро­статиме і струм потече в протилежній бік, тобто проти годин­ни­ко­вої стріл­ки, компенсуючи, згідно з правилом Ленца, додатну зміну магнет­ного по­току. У наступних чвертях періоду струм знову зміню­ватиме свій напрям.

(191) Пояснимо, як вимірюють індукцію магнетного поля флюк­сомет­ром.

Помістимо плоский соленоїд флюксометра, який має N витків, в ту область магнетного поля, де ми хо­чемо виміряти його індукцію нормально до його сило­вих ліній, тобто так, щоб магнетний потік через нього був максимальним (мал. 128). Далі слід зробити так, щоб магнетний потік зменшився до нуля. Це, очевид­но, можна зробити, виключивши струм, який створює це по­ле, або повернувши соленоїд на 90⁰. При цьому внаслідок електро­магнетної індукції через галь­ва­нометр пройде заряд

Унаслідок проходження цього заряду стрілка гальванометра відхи­ли­ться на кут , який пропорційний до цього заряду, тобто

де b – коефіцієнт пропорційності між і q, – коефіцієнт про­пор­цій­но­сті між і В.

З останньої формули видно, що кут відхилення стрілки галь­ва­но­мет­ра пропорційний до індукції магнетного поля з коефіцієнтом про­порцій­ності а, який називають сталою флюксометра (коефіцієнт про­порційності b називають сталою гальванометра). Сталу флюксометра знаходять експери­мен­та­льно, вимірявши кут відхилення стрілки гальванометра, в ході описаного вище експерименту в магнетному полі з відомим значенням В.

З останньої формули також видно, що, знаючи сталу флюк­со­мет­ра, шкалу гальванометра можна проградуювати в одиницях індукції магнет­но­го поля, тобто в теслах.

(192) Пояснимо механізм виникнення вихрових струмів (струмів Фу­ко).

Розглянемо металеву пластину в магнетному полі (мал. 129). Нехай магнетний потік крізь цю пластину змінюється в часі. Тоді в кожному уявному контурі цієї пластини, згідно з законом електро­маг­нетної ін­дук­ції, виникає ЕРС, а оскільки ці контури провідні, то в них виникають струми, які будуть себе виявляти передовсім нагріванням пластини. Крім того, якщо пластина була нерухома (зміна магнетного потоку за­без­пе­чу­ється, наприклад, зміною індукції магнетного поля), то вона може почати рухатися під дією сил Ам­пера, які почнуть діяти на вихрові струми з боку магнетного поля. Якщо ж зміна магнетного потоку забезпечується, нап­риклад, обертанням пластини в магнетному полі, то вона буде галь­му­ва­тись і т.п, тобто крім ефекту наг­рівання можуть виникати різні механічні ефекти, пов’язані з дією маг­нет­ного поля на вих­рові струми. Якщо в плас­тині зробити прорізи, наприклад, у радіальному напрямі, то вихрових струмів буде значно менше.

Вихрові струми є шкідливими в осердях елек­т­ромагнетів та тран­сформаторів. Щоб їх зменшити, ці осердя роблять не з суцільного куска ста­лі, а з плас­тин, розміщених паралельно до магнетного поля і склеєних між собою діелектриком.

Вихрові струми використовують у роторах асин­хронних електро­дви­гунів та в індукційних печах для нагрівання чи плав­лення металів, а також у фізіо­те­ра­пії для нагрівання органів та тканин людей (індук­тотермія).

(193) Пояснимо механізм виникнення скін-ефекту.

Розглянемо змінний в часі струм, який тече в провіднику, і в якийсь момент часу він для прикладу, зростає (мал. 130, а). Тоді зростає і маг­нет­не поле цього струму. Це зростаюче магнетне поле спричиняє до виник­нення ЕРС в будь-якому контурі, що про­ни­зу­є­ть­ся цим магнетним полем (контури А і В). Згідно з правилом Ленца, індукований струм потече так, що він під­си­лю­ватиме струм по краях і послаб­лю­ватиме його всередині.

Коли струм в провіднику спадає (мал. 130, б), вихрові струми потечуть так, що під­силю­ва­тимуть струм всередині, тобто не да­ва­ти­муть йому спа­да­ти і послаблюватимуть по краях, тобто сприяти­муть його спаданню.

Отже, як у випадку зростання струму, так і у випадку його спадання, опір про­від­ника буде бі­льшим всередині і меншим по його краях. Оче­вид­но, що цей ефект буде більшим, що більша буде частота зміни струму (бо тоді більшим буде темп зміни магнетного поля і, відповідно, більшими вихрові струми).

(194) Пояснимо природу явища самоіндукції і встановимо вираз для ЕРС самоіндукції.

Уявимо собі замкнений контур (чи соленоїд), у якому тече змін­ний струм. Оскільки струм змінюється з часом, то поверхня, обме­жена цим контуром, пронизується змінним магнетним потоком, що спричиняє ви­никнення ЕРС і, як наслідок, струму. Цей новий струм залежить не від ве­личини струму, який тече в контурі, а від темпу йо­го зміни. Дійсно, маг­нетний потік крізь поверхню, обмежену кон­ту­ром, пропорційний до ін­дук­ції поля струму, яке, своєю чергою, про­порційне до сили струму.

тобто

Коефіцієнт пропорційності між цими величинами позначають буквою L і називають індуктивністю, тобто

Згідно з законом електромагнетної індукції

(195) Представимо закон електромагнетної індукції у дифе­рен­ці­яль­ній формі.

Виходимо з інтегральної форми закону електромагнетної індукції:

Циркуляцію, у лівій частині цієї рівності, предста­вимо згідно з теоре­мою Стокса, яка стверджує, що циркуляція якогось век­то­ра вздовж будь-якого замкненого контура дорівнює потоку ротора цього вектора крізь будь-яку поверхню, яка спирається на цей контур, тобто замінимо на . Дістанемо

Переставивши місцями операції інтегрування та диферент­цію­вання в правій частині цієї рівності, маємо

Оскільки тепер обидва інтеграли – це інтеграли за однією і тією ж поверхнею S, то їхня рівність означає рівність підінтегральних виразів, а саме

Ми отримали диференціяльну форму закону електромагнетної індук­ції.

(196) Знайдемо вираз для індуктивності нормального соленоїда, тобто ви­ра­зи­мо цю величину через геометричні розміри соленоїда та густоту витків.

Згідно з означенням, індуктивність – це відношення магнетного по­току до сили струму, яка є причиною цього магнетного потоку, тому

де ми, крім означення індуктивності, застосували послідовно озна­чення магнет­но­го потоку, формулу магнетної індукції нормального соленоїда, та означення густоти витків нормального соленоїда.

(197) Розкриємо принцип роботи прискорювача заряджених частинок бе­та­т­рона та встановимо умову, за якої заряджена частинка буде утри­му­ва­ти­ся в бетатроні на сталій орбіті.

У бетатроні заряджені частинки при­ско­рюються у порож­нис­тому відпомпованому тороїді, який поміщений в неоднорідне і змінне в часі магнетне поле, що слабшає від центру до країв (мал. 131). Не­однорідність магнетного поля забезпечується зрізанням країв полюсів електромагнета.

Змінне магнетне поле, згідно з законом електромагнетної ін.­дук­ції, спричиняє виникнення вихрового електричного поля, лінії напру­же­но­сті яко­го замкнені й нормальні до си­лових ліній магнетного поля. Одна з таких силових ліній у випадку спа­дання маг­нет­но­го поля показана на мал. 131. Це вихрове електричне поле і прискорює заряджені частинки.

Покажемо, що для того, щоб за­ряд­жені частинки оберталися на ста­лій ор­біті, магнетне поле дійсно має бути не­од­норідним, і встановимо на­с­кільки. Оче­видно, що для сталого обертання частин­ки відцентрова сила інерції має ком­пен­су­ватись силою магнетного поля, яка ви­никне, як тільки вона почне рухатись, тобто

звідки

де – індукція магнетного поля в об­ласті тороїда, r – радіус тороїда.

Продиференціюємо останню рів­ність за часом

Згідно з основним рівнянням динаміки

тому

звідки

(1)

де Е – напруженість прискорювального вихрового електричного поля, яку знайдемо із закону електромагнетної індукції

Інтеграл зліва дорівнює EL, де L – довжина кола, а справа , де – пло­ща круга, а – середнє значення індукції магнетного по­ля в межах цього круга, тобто неоднорідне поле ми уявно замінили на однорідне, яке створює такий самий потік і має індукцію . Отже, остання рівність виглядає так:

звідки

Підставивши отриманий вираз для Е у формулу (1), дістанемо

Звідки

що означає, що для забезпечення стабільності орбіти зарядженої час­тинки індукція магнетного поля в області орбіти частинки має до­рів­нювати половині середнього значення магнетного поля по області, обмеженій цією орбітою.

Зверніть увагу також на те, що для того, щоб прискорювати не­га­тив­но заряджені частинки, магнетне поле має бути спадним, бо при цьому сила з боку магнетного поля буде протидіяти відцентрованій силі. Для прискорення позитивних частинок, навпаки, магнетне поле має зростати.

(198)Установимо закон спадання сили струму після розмикання кола постійного струму.

Якщо розімкнути коло постійного стру­му, то струм, спадаючи, спричинить ви­ник­нення ЕРС само­індукції вираз якої де L – індуктивність кола (мал. 132).

Згідно з другим правилом Кірхгофа, яке, оче­видно, можна застосовувати не ті­льки до постійного струму, а й до будь-якого миттєвого значення змін­ного стру­му

де IR – напруга в колі.

Розв’язок останнього диференціяльного рів­нян­ня

де С – стала, яку знаходимо з умови, що в початковий момент часу t=0, тобто в момент розмикання кола, сила струму мала певне по­чат­кове зна­чення . Підставивши ці значення в розв’язок, дістанемо і оста­точний розв’язок

або врахувавши закон Ома для замкненого кола

Як бачимо, темп падіння сили струму залежить від параметрів кола R i L – зі збільшенням R сила струму спадає швидше, а зі збі­ль­шення L – повільніше.

Зауважимо, що як опір R, так і індуктивність L, не обов’язково мають бути відокремленими в якомусь елементі кола, а можуть бути розподілені по колі.

(199)Установимо закон зростання сили струму після замикання кола постій­ного струму.

Після замикання кола постійного струму (мал. 133), як і після його вимикання (задача 198), виникне ЕРС самоіндукції, і тому в колі буде дві ЕРС – ЕРС самоіндукції та ЕРС джерела. Згідно з другим правилом Кірх­го­фа

або

Розв’язок цього неоднорідного ди­фе­рен­ці­яль­но­го рівняння першого по­рядку складається з розв’язку відповідного однорідного рівняння та свого частин­ного розв’язку. Частинний розв’язок цього рівняння зна­хо­ди­ться легко, бо шукаємо його як сталу величину для якої, очевидно, . З цієї умови з ос­таннього рівняння частинний розв’язок – це стала Отже, зага­ль­ний розв’язок

Підставивши початкові умови, а саме t=0 та I=0, визначивши за цих умов

дістанемо

(200)Виразимо енергію магнетного поля через силу струму, який є джерелом цього поля.

Енергію магнетного поля будемо шукати, як роботу сторонніх сил, яку вони виконують, щоб подолати ЕРС самоіндукції, яка ви­ни­кає при вмиканні джерела постійної ЕРС.

За означенням потужності елементарна робота

де P – потужність джерела ЕРС самоіндукції. Підставивши в цей ви­раз і враховуючи, що дістанемо

Отже, енергія магнетного поля створеного струмом I

(201)Виразимо густину енергії магнетного поля через індукцію цьо­го поля.

Зробимо це для поля нормального соленоїда. В останній вираз для енергії магнетного поля підставимо вираз для індуктивності нор­мального соленоїда і отримаємо з цієї формули вираз для енергії маг­нетного поля цього соленоїда.

,

звідки, поділивши ліву й праву частину цієї рівності на об’єм со­ле­но­їда V, дістанемо густину енергії магнетного поля

або

Оскільки вектори і співнапрямлені, то

Поиск по сайту: