Тема 3. Циркуляція і потік вектора індукції магнетного поля

Фізичні поняття

·Циркуляція вектора магнетної індукції вздовж замкненого контура довжиною L –це вираз

де − елемент довжини контура.

· Потік вектора магнетної ін­дук­ції через по­верхню пло­щею S −це величина

(мал. 108).

Постулати

Ø Теорема про циркуляцію вектора магнетної індукції: цир­ку­ля­ція век­тора магнетної індукції вздовж будь-якого замкненого кон­тура про­пор­ційна до по­току вектора густини струму через поверхню, обмежену цим контуром

де – магнетна стала.

Ø Теорема Остроградського-Гауса для магнетного поля: потік век­то­ра індукції магнетного поля через будь-яку замкнену поверхню до­рів­нює нулеві, тобто

Основні одиниці фізичних величин

·Один ампер – це сила такого постійного струму, який, про­ті­каючи у двох паралельних нескінченно довгих та нескінченно тонких прямих про­водах, що є у вакуумі на відстані 1 метр один від одного, спричиняє силу їхньої вза­ємо­дії на одиницю довжини

Задачі

(166) На основі означення одиниці фізичної величини ампера ви­з­на­чимо числове значення магнетної сталої.

Ми вже показали (задача 165), що два паралельні нескінченно довгі провідники з струмами притягуються або відштовхуються.

Для того, щоб знайти величину цієї сили, розраховану на оди­ни­цю довжини провідників, напишемо вираз індукції поля прямого не­скінченно довгого струму в точці, що розміщена на відстані від нього (задача 159)

Тоді сила Ампера, яка діє з боку цього поля на другий провід

звідки

.

З означення одного ампера випливає, що за умови м, – сила взаємодії, що припадає на одиницю довжини має бути Н/м, тому

Як бачимо, числове значення магнетної сталої буде різним у різних системах одиниць, бо вона залежить від основних одиниць: одиниці сили струму, довжини, маси та часу.

(167) Перевіримо теорему про циркуляцію вектора магнетної індукції для пря­мого струму.

Спочатку розглянемо частковий ви­па­док замкненого контура, який збі­га­є­ться з однією з силових ліній маг­нетного поля цьо­го струму (мал. 109). Обчис­лимо цирку­ля­цію магнетної ін­дукції вздовж цього кон­ту­ра.

Раніше ми з’ясували (задача 158), що будь-яка силова лінія прямого струму – це ко­ло з центром на прямій, вздовж якої тече струм і, відповідно, вектор є дотичним до нього. Оскільки вектор елемента довжини кола також до­тичний до цього кола, то скалярний добуток і застосувавши формулу ін­дук­ції поля прямого струму (задача 159), дістанемо

.

Ми отримали, що цир­ку­ля­ція век­тора магнетної індукції прямого стру­му вздовж замк­не­ного кон­ту­ра, який збігається з будь-якою із си­ло­вих лі­ній, про­порційна до си­ли стру­му, а ос­кільки сила струму – це потік век­тора густини струму (задача 72 з роз­ділу 2), то ця цир­куляція про­пор­ційна до потоку густини струму, при­чому з кое­фі­цієнтом пропорційності в по­вній від­повідності до по­сту­лату про циркуляцію вектора магнетної індук­ції.

Тепер розглянемо більш загальний ви­па­док, тобто коли прямий струм охоплено будь-яким проте плоским контуром (мал. 110).

Представимо цей контур як послідовність нескінченної кількості колових дуг та радіальних відрізків. Очевидно, що циркуляція вектора вздовж ра­ді­а­льних відрізків дорівнює нулеві, бо скалярний добуток там дорівнює ну­леві як скалярний добуток взаємно-нормальних векторів. Для колових дуг тому

Якщо контур не плоский, то результат буде такий самий – усі від­різ­ки, паралельні до струму, будуть нормальними до вектора індукції і не вно­си­тимуть вкладу в інтеграл, тобто циркуляція вектора вз­довж такого кон­тура така ж як і вздовж його проекції на площину нормальну до струму.

Отже, ми довели, що для прямого струму теорема про магнетну цир­куляцію дійсно має місце. Зауважимо, що ця теорема насправді є посту­латом, вона ще має назву: закон Ампера.

(168) На основі теореми про магнетну циркуляцію покажемо, що для ви­падку струмів будь-якої форми, які течуть у проводах

де − алгебраїчна су­ма струмів, яка охоплена будь-яким кон­ту­ром довжиною L.

Дійсно, для скінчен­ної кіль­кості струмів (мал. 111) інте­грал пе­ре­хо­дить в алге­браїчну суму, тобт о

і теорема про магнетну цир­ку­ля­цію набуває виг­ляду

(169) Представимо теорему про магнетну циркуляцію у диферен­ція­ль­ній формі.

Для цього застосуємо теорему Стокса, яка стверджує, що цир­ку­ляція будь-якого вектора вздовж замкненого контура дорівнює по­то­ку ротора цього вектора через поверхню, обмежену цим контуром. Дістанемо

Звідси та згідно з теоремою про магнетну циркуляцію

Оскільки в обидвох частинах рівності є поверхневі інтеграли по одній і тій же поверхні, то мають бути рівними й підінтегральні ви­рази, тобто

Це рівняння є диференціяльною формою теореми про магнетну циркуляцію.

(170) За допомогою теореми про магнетну циркуляцію знайдемо вираз для індукції магнетного поля тороїда.

Нехай тороїд має радіус R і кі­лькість витків N (мал. 112). Вибе­ре­мо замкнений контур так, щоб він збі­гся з осьовою лінією торо­їда. Ос­кі­льки вектор в усіх точ­ках ви­б­ра­ного нами контура одна­ковий і спря­мований вздовж до­ти­чної до нього, то і

Цей контур охоплює N струмів однакового напряму і величини І, тому, згідно з теоремою про магнетну циркуляцію,

,

звідки

або враховуючи, що – це густота витків n

Бачимо, що магнетне поле всередині тороїда таке ж за вели­чи­ною, як і всередині нормального соленоїда з такою ж густотою витків (задача 162). Це і не дивно, бо тороїд можна сконструювати зги­нанням нормального соленоїда так, щоб його вісь набула форми кола.

Щодо напряму вектора індукції, то всередині соленоїда воно прак­тич­но однорідне (однакове як за величиною так і за напрямом) а в тороїді однакове лише за величиною.

(171) На основі теореми про магнетну циркуляцію знайдемо вираз для індук­ції магнетного поля всередині нормального соле­ної­да.

Ми вже отримали формулу для індукції поля на осі нормального со­ле­ноїда на основі закону Біо-Савара-Лапласа (воно практично однакове всю­ди всередині соленоїда). Покажемо, що це мож­на зробити за допомогою теореми про магнетну цир­ку­ляцію, причому простіше. Щоб застосувати згадану теорему, нам слід вибрати замкнений контур, який охоплює всі струми величиною І. У ролі цього кон­тура візьмемо контур ABCD (мал. 113) і обчис­лимо цир­ку­ля­цію вектора вздовж нього. Оскільки в об­ласті відрізків BC і DA вектор індукції є прак­тично нормальним до , то відповідні скалярні до­бутки дорівнюють нулеві і тому циркуляція вектора вздовж цих відрізків дорівнює нулеві. Щодо циркуляції вздовж відрізка CD, то вона значно менша за циркуляцію вздовж відрізка AB, бо поле за межами соленоїда значно слабше, ніж всередині. Тому циркуляція по всьому контуру зводиться до циркуляції вздовж відрізка AB і за теоремою про магнетну цирку­ляцію

Позаяк на відрізку AB вектори i пара­ле­льні, то і враховуючи однорідність поля все­редині соленоїда маємо

або

де L − довжина соленоїда, N − кількість його витків. З останньої рів­ності

або

де n − густота витків соленоїда.

(172) Представимо теорему Остроградського-Гауса для маг­нет­но­го поля в диференціяльній формі.

Для цього застосуємо математичну теорему, яка також на­зи­ва­ється теоремою Остроградського-Гауса і яка, по суті, переводить по­верхневий інтеграл в об’ємний.

тобто потік будь-якого вектора через замкнену поверхню дорівнює інте­гралу від дивергенції цього вектора за об’ємом, обмеженим цією по­вер­х­нею.

Згідно з цією теоремою, теорема Остроградського-Гауса для маг­нет­ного поля набуває вигляду

,

звідки, оскільки ,

Остання рівність представляє ту ж саму теорему Остро­град­ського-Гауса для магнетного поля, проте в диференціяльній формі.

(173) Покажемо, що теорема Остроградського-Гауса для маг­нет­но­го поля свідчить про замкненість силових ліній магнет­но­го поля, що, своєю чергою, може трактуватися як від­сут­ні­сть у природі магнетних зарядів.

Дійсно, рівність нулеві потоку вектора магнетної індукції через будь-яку замкнену поверхню говорить про те, що кожна силова лінія, яка входить в область, обмежену цією поверхнею, мусить вийти з цієї області, тому ця силова лінія має бути замкненою, що, зі свого боку означає, що ніде немає її джерела, тобто немає магнетного заряду.

Тема 4. Сила Лоренца

Фізичні явища

· Ефект Голла − це явище ви­ник­нення різниці потен­ці­я­лів між двома про­ти­леж­ними по­верх­нями провід­ника чи на­пів­про­від­ника зі струмом па­ра­ле­льним до цих поверхонь у маг­нет­ному полі яке нор­ма­ль­не до стру­му і пара­ле­льне до цих поверхонь (мал. 114).

· Магнетоопір (магнеторезис­ти­вний ефект) − це явище зміни опору про­від­ника чи напівпровідника в маг­нет­но­му полі.

· Циклотронний резонанс − це раптове зростання магнетоопору про­відника чи напівпровідника за умови збігу цикло­тронної частоти носіїв струму з частотою фотона.

Фізичні поняття

· Сила Лоренца − це сила, яка діє на точковий заряд з боку елек­три­ч­ного та магнетного полів (позначення ).

· Питомий заряд частинки − це відношення заряду частинки до її маси.

· Циклотронна частота − це частота обертання зарядженої час­тинки навколо вектора індукції магнетного поля.

Фізичні системи й прилади

· Сенсор Голла – прилад, який працює за принципом ефекту Голла й призначений для вимірювання індукції магнетного поля.

· Мас-спектрометр – прилад, який працює на основі законо­мір­но­с­тей руху заряджених частинок в електричному й магнетному полях і при­зна­че­ний для вимірювання мас йонів з метою установлення хемічного складу певного зразка.

· Прискорювачі заряджених частинок – прилади, за допомогою яких заряджені частинки прискорюються в електричному та магнетному полях до великих швидкостей.

· Магнетогідродинамічний (МГД) генератор – генератор пос­тій­ної ЕРС, дія якого базується на розділені електричних зарядів магнетним полем.

Задачі

(174) Установимо вираз для сили Лоренца.

З означення сили Лоренца та принципу суперпозиції сил вип.­ли­ває, що вона дорівнює сумі сил, які діють на точковий заряд з боку елек­т­ри­ч­ного та магнетного полів.

Вираз для сили з боку електричного поля нам відомий: , тому нам залишилось віднайти вираз для сили з боку магнетного поля.

Розглянемо конкретний точковий заряд – електрон. Силу, яка діє з бо­ку магнетного поля на цей електрон, знайдемо як силу, яка діє з боку цього поля на всі рухомі електрони, які є в заданому відрізку провідника, поділену на їхню кількість.

Сила, яка діє з боку магнетного поля на всі електрони відрізка про­відника зі струмом dl, – це сила Ампера, вираз якої, як нам відомо, має вигляд

Представивши силу струму згідно з її означенням як , а заряд як , де – кількість електронів в елементі довжини про­від­ника dl, дістанемо

Враховуючи, що – це дрейфова швидкість електрона, маємо

Поділивши ліву й праву частину цієї формули на dN, дістанемо силу, яка діє на один електрон

або

Оскільки вектор дрейфової швидкості електрона є про­тилеж­ним до елемента струму , то

Для будь-якого точкового позитивного заряду q

і вираз для сили Лоренца

(175) Вкажемо на відносність магнетного поля.

Нехай позитивний точковий заряд рухається зі швидкістю відносно спостерігача в лабораторній системі відліку в магнетному полі (для прос­тоти нормально до силових ліній (мал. 115)). Очевидно, що на нього діятиме сила цього поля B

Спостерігач, який рухається із зарядом, зафіксує ту ж саму силу, проте заряд відносно нього буде неру­хо­мим, тому, з погляду цього спостерігача, це сила елек­т­ричного поля, напруженість якого

і силові лінії якого є нормальними до силових ліній магнетного поля, яке бачить спостерігач у лабораторній системі.

Отже, спостерігач у лабораторній системі сприймає поле як маг­нетне, тоді як спостерігач у системі, зв’язаній з зарядом, як електричне.

(176) Порівняємо силу електричної та магнетної взаємодії між двома точ­ковими зарядами.

Розглянемо два точкові позитивні заряди, які ру­ха­ються зі швидкістю в лабораторній системі відліку (мал. 116). На другий заряд, з боку маг­нет­ного поля, створеного першим за­ря­дом, діє сила

де − індукція магнетного поля першого заря­ду, яка, як відомо (задача 163)

де − напруженість електричного поля цього заря­ду.

Отже, сила магнетної взаємодії цих двох зарядів

а її модуль

.

Водночас сила електричної взаємодії

і її модуль

Порівнюючи ці дві сили, маємо

,

що означає, що за малих порівняно зі швидкістю світла швидкостей сила електричної взаємодії набагато більша за силу магнетної взає­мо­дії, і для того, щоб ці дві сили зрівнялися, заряди мали би рухатися зі швидкістю світла.

Крім того, бачимо, що спостерігач у системі відліку, зв’язаній з заря­дами, фіксує тільки електричне поле і, відповідно, електричне від­штов­ху­вання між зарядами, тоді як спостерігач у лабораторній системі − як елек­тричне, так і магнетне поле і, відповідно, силу елек­тричного відштов­ху­ван­ня та силу магнетного притягання, тобто рів­нодійну цих сил, модуль якої з двох останніх рівнянь

.

(177) Знайдемо циклотронну частоту то­чкового заряду, який по­тра­пив у магнетне поле нормально до його силових ліній.

Як тільки заряджена частинка по­тра­пить у магнетне поле, на неї почне діяти сила з боку цього поля яка, згід­но з пра­ви­лом правого гвинта для век­торного до­бут­ку, буде спрямована нормально як до век­тора індукції, так і до вектора швидкості (мал. 117). Це спричинить зміну траєкторії частин­ки, що, своєю чергою, спричинить змі­ну напряму швидкості і, відповідно, нап­ряму сили.

Так частинка буде ру­ха­тися дугою кола, радіус якого знайдемо з умови рівності відцентрової сили інерції, яка при цьому виникла, силі магнетного поля.

звідки, враховуючи що

і на основі формули зв’язку лінійної і кутової швидкостей

Як бачимо, циклотронна частота не залежить від швидкості, з якою частинка влетіла в магнетне поле, а лише від її маси та індукції магнет­ного поля.

(178) Знайдемо радіус і крок гвинтової лінії, вздовж якої буде ру­ха­тися заряджена частинка, яка потрапила в магнетне поле під до­ві­ль­ним кутом до його силових ліній.

Спочатку покажемо, що сила магнетного поля визначається лише нормальною до магнетного поля складовою вектора швидкості заряду. Для цього роз­кла­де­мо вектор швидкості на дві складові (мал. 118): нор­мальну й пара­лельну до поля та напишемо вираз для сили магнетного поля

Аналогічно можемо показати, що си­ла магнетного поля виз­на­ча­є­ться нор­ма­льною до вектора швидкості ск­ла­довою век­то­ра .

.

Радіус гвинтової лінії знайдемо з умови рівності сили магнетного поля від­цен­тровій силі інерції

звідки

або, підставивши ,

Крок h гвинтової лінії знайдемо з умови, що за один період заряд, ру­хаючись вздовж поля зі швидкістю , проходить вздовж поля саме цю відстань, тобто

(179) Визначимо питомий заряд електрона, якщо він, будучи при­ско­реним різницею потенціялів потрапивши в нормальне до його швидкості магнетне поле з індукцією , відхилився на відстань , пройшовши відстань (мал. 119).

Потрапивши в магнетне поле, електрон рухатиметься дугою кола так, що відцентрова сила інерції дорів­ню­ва­ти­ме силі магнетного поля.

звідки питомий заряд електрона

Швидкість електрона ви­з­начається прискорювальною нап­ру­гою з рівності

звідки

а радіус кола R з рівності

звідки

Підставивши знайдені вирази для і у вираз для питомого заряду, дістанемо

(180) Визначимо питомий заряд електрона методом Томсона, а саме: якщо він, рухаючись нормально до силових ліній взає­мно-нор­мальних та однорідних електричних та магнетних полів, не за­знав відхилення.

Той факт, що електрон, незважаючи на присутність електричного та магнетного полів, не зазнав їхньої дії, означає, що сили, які на нього діють з боку цих полів, однакові за величиною та протилежні за напрямом, тобто

,

або, враховуючи вирази цих сил

звідки швидкість, з якою елек­трон має прийти в область дії цих двох полів

Ця швидкість задається при­скорювальною напругою .

З двох останніх рівностей

Якщо електричне поле ство­рюється конденсатором, відстань між пластинами якого d і напруга на них U, а магнетне поле – соленоїдом з густотою витків n і силою струму I, то підставивши в останню формулу

дістанемо

Практично це робиться так: в електронно-променевій трубці (мал. 120) за відсутності електричного та магнетного полів пучок електронів прискорений напругою потрапляє, очевидно, в центр екрана (точка О). Далі включають магнетне поле і пучок електронів відхиляється у точку А. Після того включають електричне поле такої напруженості, щоб пучок електронів знову повернувся у центр екрана. Це буде означати, що сили, які діють на електрони з боку обидвох полів, компенсують одна одну. Ви­мірявши прискорювальну напругу відстань між пластинами кон­ден­са­тора d та напругу на них U, силу струму в соленоїді I та густоту його вит­ків n за остан­ньою формулою, можемо обчислити питомий заряд елек­трона.

(181) Знайдемо масу однозарядного йона, який по­тра­пив на фото­пла­с­тинку у масс-спектрографі Бейнбріджа на відстані L від щілини.

На мал. 121 схематично показано масс-спектрометр Бейнбріджа. Елек­т­рич­не поле та магнетне поле відіграють роль се­лектора, який від­бирає (пропускає в отвір) лише ті йони, швидкість яких задовольняє умову

,

або

Усі інші йони будуть відхилені ци­ми полями.

Отже, йони зі швидкістю

потрапляють в магнетне поле де на них діє сила цього магнетного поля, і під дією якої вони описують дугу кола, радіус якого знаходимо з умови рівності цієї сили від­центровій силі інерції

звідки, а також з формули для

За напрямом дуги (вліво чи вправо), згідно з правилом правого гвинта для векторного добутку векторів, визначаємо також знак йона.

(182) Пояснимо механізм виник­нен­ня ефекту Голла і виразимо нап­ру­гу Гол­ла через індукцію магнетного поля і силу стру­му.

Помістимо метал чи напів­про­відник зі струмом у магнетне поле, лінії індукції якого нор­ма­ль­ні до струму (мал. 122).

Нехай основні носії за­ря­ду в цьому матеріялі − еле­к­трони. На них почне ді­яти сила маг­нет­ного по­ля яка відхилятиме їх до верх­ньої грані що порушить елек­тро­нейтральність в усьо­му об’є­мі зразка і спри­чинить ви­ник­нення елек­три­ч­ного поля, спря­мо­ва­но­го від нижньої до верх­ньої грані. Це поле дія­ти­ме на електрони з силою про­тилежною за напря­мом до сили магнетного поля, причому воно зро­с­татиме в міру на­гро­мад­ження електронів на верхній грані. За умови рівності цих сил процес розділення зарядів припиниться. Напишемо цю умову

або, представивши E через напругу Голла , дістанемо

звідки

.

Представивши дрейфову швидкість електронів через густину струму й концентрацію, а густину струму через силу струму та роз­міри зразка, ді­с­танемо

(183) Покажемо, що вимірявши експериментально напругу Голла можна виз­начити концентрацію та рухливість носіїв струму в ме­талі чи напівпровіднику.

З формули для напруги Голла

бачимо, що вимірявши силу струму I, індукцію поля B, розмір зразка в напрямі магнетного поля та напругу Голла , можна обчислити кон­цен­т­рацію носіїв струму

а також їхню рухливість

де U − напруга на його кінцях.

(184) Пояснимо роботу прискорювача заряджених частинок − цик­ло­трона.

В основі принципу роботи циклотрона лежить той факт, що час­тота обертання зарядженої частинки нав­коло вектора ін­дукції магнетного поля, а це, як відомо, циклотронна частота, не за­лежить від її швидкості (задача 177).

Циклотрон (мал. 123) складається з двох металевих півколових по­су­дин з ва­куумом, які називають дуантами. Одно­рід­не магнетне поле нормальне до пло­щини дуантів. Джерело заряджених час­ти­нок розміщене в центрі циклотрона. Якщо до дуантів приєднати джерело змінної ЕРС з частотою, яка збігається з циклотронною частотою, то частинка поч­не свій рух в елек­тричному полі, яке буде її прискорювати не­залежно від того, де вона є. З кожним обер­том частота залишається сталою, а швид­кі­сть та радіус орбіти зро­стають (за­да­ча 177). У результаті час­тин­ка з великою швидкістю вилітає з цикло­трона.

(185) Пояснимо роботу магнетогідродинамічного генератора (МГД-ге­не­ратора).

У камері (мал. 124) робоче тіло нагріва­ється до температури приб­лизно 3000 К, тоб­то до стану плазми, і через сопло виривається у канал, у якому є магнетне поле, нормальне до напряму руху плазми. Під дією сили маг­нетного поля по­зи­тивно заряджені частинки від­хи­лятимуться до верх­нього електрода, а не­га­тивно заряд­жені – до нижнього. Якщо до елек­тро­дів приєднати спо­жи­вача, то в ко­лі потече струм, причому, оскільки процес розділення за­рядів безперервний, то на міс­це носіїв струму, які втратили на споживачі свою енергію дрей­фового руху, приходять нові, тобто ми маємо джерело ЕРС.

Явище розділення зарядів у МГД- гене­ра­торі подібне до ефекту Голла з тією різницею, що в МГД- генераторі як позитивний, так і негативний заряди рухаються в одному напрямі, а в про­від­ни­ку зі струмом – в про­ти­лежних. Це при­во­дить до того, що різнойменні заряди в МГД- генераторі від­хиляються до протилежних електродів, тоді як у про­від­нику зі струмом в магнетному полі – до одного і того ж електрода.

(186) Пояснимо, як виникає явище “північне сяйво”.

Відомо, що Сонце, крім світла та іншого електромагнетного випро­мінювання, ви­п­ро­мі­н­ює потік час­ти­нок − елек­т­ронів, про­тонів та йонів, – який дістав назву “со­нячний ві­тер”. Від­бу­ва­є­ться це внаслідок ви­со­кої тем­ператури Сонця – кі­не­тична енергія час­ти­нок настільки велика, що вона перевищує робо­ту виходу за межі тя­жіння Сонця (це та са­ма термоемісія з тією різ­ницею, що частинка мусить до­лати не тіль­ки силу затримуючого елек­т­ри­чного поля, а й силу тя­жіння).

Якщо б цей “со­няч­ний вітер” проник до нас, то життя на Землі було б неможливим, а захищає нас від цього убивчого потоку кор.­пу­скул маг­нет­не поле Землі. Дійсно, заряджена частинка, наприклад, електрон потра­пивши в магнетне поле Землі (мал. 125) під кутом до силової лінії, почне рухатися гвинтовою лінією навколо цієї силової лінії (задача 178). Коли вона досягає атмосфери Землі, а це, як видно з малюнка, відбувається біля магнетних полюсів, то, бомбардуючи атоми, спричиняє їх світіння.

Поиск по сайту: