ГРАФИГІ МЕН ТАПСЫРУ МЕРЗІМІ 12 страница

Максвелл таралуы. Бөлшектердің жылулық қозғалысының жылдамдықтары. Молекулалық-кинетикалық теорияның негізгі заңын қорытқан кезде молекулалар әртүрлі жылдамдықпен қозғалады дедік. Көптеген соқтығысулар нәтижесінде әр молекуланың жылдамдығы модулі және бағыты бойынша өзгереді. Бірақ молекулалардың хаосты қозғалуының нәтижесінде барлық қозғалыс бағыттары ықтимал, яғни орташа есеппен кез-келген бағытта қозғалатын молекулалар саны бірдей.

Молекулалық-кинетикалық теория бойынша молекулалар соқтығысқанда жылдамдық қанша өзгергенімен газдағы массасы m₀ молекуланың тепе-теңдік қалыпта тұрақты температурадағы Т= const орташа квадраттық жылдамдығы тең. Мұны былай түсіндіруге болады: Т= const болғанда тепе-теңдік күйдегі газда уақыт уақыт бойынша өзгермейтін молекулалардың жылдамдық бойынша таралуы, яғни стационар таралуы орын алады. Ол белгілі бір статистикалық заңға бағынады, теория жүзінде ол заңды қорытып шығарған Дж. Максвелл.

Молекулалардың жылдамдық бойынша таралу заңын қорытып шығарғанда Максвелл газ өте көп молекулалардан тұрады, молекулалар бірдей температурада тәртіпсіз жылулық қозғалыста болады және газға күш өрістері әсер етпейді деп алды.

Максвелл заңы функциясымен сипатталады, ол функция молекулалардың жылдамдық бойынша таралу функциясы деп аталады.

Егер молекулалардың жылдамдық диапазонын -ға тең кіші интервалдарға бөлсек,онда жылдамдықтың әрбір интервалына молекулалар саны келеді, молекулалардың жылдамдығы осы интервалда жатады.

функциясы жылдамдықтары дан интервалында жатқан молекулалардың салыстырмалы санын анықтайды: , яғни

бұдан .

Ықтималдылық теориясының әдістерін пайдалана отырып, Максвелл функциясын – идеал газ молекулаларының жылдамдық бойынша таралу заңын тапты:

(9.1)

(2.1) формуласынан көргендей функциясы газдың массасына және температураға Т тәуелді. функциясының графигі 9.1 суретте көрсетілген. Егер өскен сайын -на қарағанда тез азайса, онда функциясы нульден бастап тең болғанша өседі, = болғанда максимумға жетеді, сосын асимптотикалы нульге ұмтылады. Қисық -ға қарағанда симметриялы емес.

9.1 сурет

Жылдамдығы дан интервалында жатқан молекулалардың салыстырмалы саны - ақшыл жолақтың ауданы болып табылады. Таралу қисығымен және абсцисса осімен шектелетін аудан бірге тең, ол функциясы нормалау шартын қанағаттандырады дегенді білдіреді:

= 1

Идеал газдың жылдамдық бойынша таралу функциясы максимал мәнге ие болатын жылдамдықты ықтимал жылдамдық деп атайды. Ықтимал жылдамдықтың мәнін (9.1) формуласын жылдамдық бойынша дифференциалдап және нульге теңеп, өрнегі үшін максимум шартын қолдана отырып табуға болады:

= 2 = 0

=0 және = 92.1) өрнегінің минимум шартына сәйкес келеді, жақша ішіндегі өрнек нульге тең болатын болса, ықтимал жылдамдықтың мәнін табуға болады:

= = (9.2)

Егер температура жоғары болса, максимум оңға жылжиды, мәні үлкен болады. Бірақ қисықпен шектелген аудан өзгермейді, тек температура өскенде қисық созылады және аласарады (9.2 сурет ).

9.2 сурет

Таралу функциясы арқылы молекулалардың орташа арифметикалық жылдамдығын мына формуладан табады:

функциясының мәнін қойып және интегралдап, орташа арифметикалық жылдамдықтың өрнегін алады:

(9.3)

Газ күйін сипаттайтын жылдамдықтар:

1) ықтимал жылдамдық - = ;

2) орташа арифметикалық жылдамдық - , ;

3) орташа квадраттық жылдамдық - , .

Молекулалардың жылдамдық бойынша үлестірілуінен газ молекулаларының кинетикалық энергия бойынша үлестірілуі функциясын алуға болады.

(9.4)

Ол үшін (9.4) формуласындағы айнымалы жылдамдық шамасынан кинетикалық энергия шамасына көшу қажет: , . Сонда (9.4) формуласын мына түрде жазуға болады:

;

Мұндағы - интервалындағы ілгерілемелі қозғалыстың кинетикалық энергиясы бар молекулалар саны. Сонымен, молекулалардың жылулық қозғалысының энергиясы бойынша таралу функциясының өрнегін жазайық:

. (9.5)

Идеал газдың орташа кинетикалық энергиясын таралу функциясын пайдаланып табуға болады:

Сыртқы потенциалдық өрістегі бөлшектер үшін Больцман таралуы. Барометрлік формула. Молекулалық-кинетикалық теорияның негізгі теңдеуі бойынша және Максвелл таралу заңы бойынша газ молекулаларына сыртқы күштер әсер етпейді, сондықтан олар көлемде бірқалыпты таралады деп есептелінді. Бірақ кез-келген газдың молекуласы Жердің тартуының потенциалдық өрісі әсерінде болады. Ауырлық күші мен молекулалардың жылулық қозғалысы газдың стационар күйіне әкеледі, газ қысымы биіктікке байланысты азаяды. Тартылыс өрісін біртекті, температура тұрақты және барлық молекулалардың массасы бірдей деп алып, қысымның биіктікке байланысты өзгерісін көрсететін заңды қорытайық (9.3 сурет). Егер h биіктікте атмосфералық қысым p-ға тең болса, онда h + dh биіктікте ол p+dp –ға тең (dh >0 болғанда dp<0, себебі қысым биіктікпен азаяды).

9.3 сурет

Қысымның биіктікке байланысты өзгерісін көрсететін заңды қорытқанда, өріс біртекті, температура тұрақты және барлық молекулалардың массасы бірдей деп аламыз. Егер h биіктікте атмосфералық қысым р-ға тең болса, онда h+dh биіктікте ол p+dр-ға тең (dh>0 болғанда dр>0 , себебі қысым биіктікпен азаяды) p және р+ dр қысымының айырмасы биіктігі dh-қа тең цилиндрдің көлемінің ішіндегі газдың салмағына тең p-(p+dp)= ρgdh, ρ-газдың тығыздығы, dh- өте аз биіктік болғандықтан газдың тығыздығын өзгермейді, тұрақты деп алуға болады. Сондықтан

dр = - ρgdh (9.7)

Идеал газдың күй теңдеуін пайдалана отырып, ,

тығыздықты табамыз

Бұл формуланы (9.7) ге қойып, мынаны аламыз

,

немесе

Биіктік h₁-ден h₂-ге өзгергенде қысымда р₁-ге ден р₂-ге өзгереді, яғни

,

немесе

(9.8)

Алынған формула барометрлік формула деп аталады, ол биіктікке байланысты атмосфералық қысымды табуға немесе қысымды өлшеп алып, сол арқылы биіктікті табуға мүмкіндік береді. Биіктік теңіз деңгейіне қатысты өзгереді. Сондықтан (9.8) формуласын

(9.9)

деп жазуға болады, мұндағы р - h биіктіктегі қысым. Биіктікті өлшейтін құралды альтиметр деп атайды. Альтиметрдің жұмысы (9.9) формуласын қолдануға негізделген. Бұл формула газ ауыр болған сайын оның қысымы биіктікке байланысты тез кемитінін көрсетеді. Барометрлік формуланы р=nkТ өрнегін пайдаланып былай жазуға да болады:

п - h биіктіктегі молекулалардың концентрациясы, n₀ - h=0 биіктіктегі молекулалардың концентрациясы.

және болғандықтан

(9.10)

деп жазуға болады, m₀gh=П- молекуланың потенциалдық энергиясы екенін ескеріп, (9.10) өрнегін мына түрде жазуға болады:

(9.11)

(9.11) формуласы сыртқы потенциалдық өрістегі Больцман таралуы деп аталады. Тұрақты температурада Т=const молекуланың потенциалдық энергиясының кемуіне сол жердегі газ тығыздығының көбеюі сәйкес келеді. Жылулық хаосты қозғалыстағы молекулалардың массалары бірдей болса, Больцман таралуы тек қана ауырлық күші өрісінде емес, сыртқы потенциалдық өрісте де орынды.

Молекуланың орташа соқтығысу саны және еркін қозғалысының орташа ұзындығы. Газ молекулалары жылулық тәртіпсіз қозғалыс әсерінен бір-бірімен соқтығысады. Екі соқтығыс аралығында молекула L жол жүреді, молекуланың еркін қозғалыс кезіндегі екі соқтығыс арасында жүрген жолы - еркін қозғалыс жолының ұзындығы деп аталады. Жалпы жағдайда әр соқтығыс арасындағы жүрілген жол әртүрлі болады, хаосты қозғалатын молекулалар саны өте көп болғандықтан, молекулалардың еркін қозғалысының орташа жолы туралы айтуға болады .

Соқтығысқанда молекуланың центрі жақындайтын ең кіші арақашықтықты молекуланың эффективті диаметрі d деп атайды (9.4 сурет).

9.4 сурет

Молекуланың эффективті диаметрі соқтығысушы молекулалардың жылдамдығына тәуелді, демек температураға да тәуелді.

1 с ішінде молекула орташа арифметикалық жылдамдыққа тең жол жүрсе және - 1 с ішіндегі бір молекуланың орташа соқтығыс саны болса, онда еркін қозғалыстың орташа ұзындығы

= (9.12)

Соқтығыс санын - ті анықтау үшін молекуланы диаметрі d-ға тең шар деп алайық, ол қозғалмайтын басқа молекулалардың арасында қозғалсын. Бұл молекула тек қана центрі d-ға тең немесе одан аз қашықтықта орналасқан молекулалармен соқтығысады, яғни «сынық» (радиусы d-ға тең) цилиндрдің ішінде орналасқан молекулалармен соқтығысады (9.5 сурет).

9.5 сурет

1с ішіндегі соқтығысу саны «сынық» цилиндрдің ішіндегі молекулалар санына тең:

=n·V,

мұндағы n - молекулалардың концентрациясы десек, , ал <υ>- молекулалардың орташа жылдамдығы немесе 1 с ішінде жүрілген жол. Сонымен орташа соқтығыс саны

Басқа молекулалардың қозғалысын есептесек орташа соқтығыс саны мынаған тең:

Сонда еркін қозғалыстың орташа ұзындығын төмендегі өрнек арқылы анықтауға болады:

(9.13)

- еркін қозғалыстың орташа ұзындығы n концентрацияға кері пропорционал шама екендігін көреміз. Екінші жағынан, Т=const болғанда n- қысымға р пропорционал. Сондықтан

Идеал газдың ішкі энергиясы. Еркіндік дәреже саны. Еркіндік дәрежесі бойынша энергияның таралуы. Термодинамикалық жүйенің ең маңызды сипаттамаларының бірі ішкі энергия U болып табылады. Ол жүйедегі микробөлшектердің (молекула, атом, электрон, ядро, т.б.) хаосты (жылулық) қозғалысының және осы бөлшектердің өзара әсерлесу энергиясы болып табылады. Біртұтас жүйенің қозғалысының кинетикалық энергиясы мен сыртқы өрістегі жүйенің потенциалдық энергиялары ішкі энергия болып есептелінбейді.

Ішкі энергия – жүйенің термодинамикалық күйінің функциясы, демек жүйенің әр күйде белгілі бір ішкі энергиясы болады. Жүйе бір күйден екінші бір күйге өткенде оның ішкі энергиясының өзгерісі сол күйлердің ішкі энергияларының айырмасымен анықталады: . Жүйенің ішкі энергиясының өзгерісі жүйе бір күйден екінші күйге қандай жолмен келгеніне тәуелсіз шама болып табылады.

Еркіндік (еріктілік) дәрежелер саны деп жүйенің кеңістіктегі орнын толықтай анықтайтын тәуелсіз айнымалылар (координаталар) санын айтады. Мысалы, көптеген есептерде бір атомды газ молекуласын ілгерілемелі қозғалыстың үш еркін дәрежесі бар материялық нүкте ретінде қарастырады да, айналмалы қозғалыстың энергиясы ескерілмейді:

і = 3. Суретте а) жағдайы ( ).