ГРАФИГІ МЕН ТАПСЫРУ МЕРЗІМІ 10 страница

(7.4)

(7.4) өрнегі бойынша жылдамдық та гармониялық заңға бағынады, - жылдамдық амплитудасы. (7.1) мен (7.4) өрнекетрін салыстырсақ, жылдамдық ығысудан фаза бойынша - ге озып отырады. (7.4) тағы да уақыт бойынша дифференциалдап, үдеу өрнегін табамыз:

(7.5 )

(7.5) мен (7.3)-ді салыстырсақ, онда үдеу мен ығысу қарама-қарсы фазада болатындығы шығады, яғни жылдамдық өзінің ең үлкен оң мәніне жеткенде, үдеу өзінің ең үлкен теріс мәніне жетеді және керісінше болады.

Тербелістерді қосу. Векторлық диаграмма. Гармониялық тербелістерді сипаттайтын теңдеуін айналушы векторлық амплитуда көмегімен көрсетуге болады, осындай әдіспен алынған кестені векторлық диаграмма деп атайды. Алынған осьті әрпімен белгілейік (7.1-сурет) Осьтен алынған нүктесінің осьпен бұрышын жасайтын, ұзындығы А – амплитудаға тең векторын салайық. Егер бұл векторды сағат тілінің бағытына қарама-қарсы бағытта бұрыштық жылдамдықпен айналдырсақ, онда бұл вектордың ұшының проекциясы осі бойынша +А-дан –А-ға дейін өзгеріп отырады. Бұл вектордың өзгеруі гармониялық тербеліс заңдылығына бағынады, оның бұрыштық жылдамдығы циклдік жиілігіне тең, ал бұрышын бастапқы фаза деп қабылдауға болады. Гармониялық тербелістердегі векторлық диаграмма әдісі тербелістерді қосу кезінде кең қолданылады.

(7.6 )

Осы екі тербелісті диаграммада және векторларының көмегімен көрсетейік (7.2-сурет)

Қорытқы векторын векторларды қосу ережесі бойынша анықтаймыз. Сонда бұл вектордың осіндегі проекциясы қосылған векторлардың проекцияларының және қосындысына тең екендігі суреттен оңай көрінеді: . Сондықтан, векторы қорытқы тербеліс болып табылады. Бұл вектор және векторлары сияқты бұрыштық жылдамдықпен айналады, олай болса қорытқы вектор сипатталатын өрнек , түрде болады, мұндағы А –қорытқы тербелістің амплитудасы, ал -оның бастапқы фазасы. 7.2. – суреттен А амплитудасының квадраты мынаған тең:

(7.7 )

ал бастапқы фаза төмендегі теңдеу арқылы анықталады

(7.7 ) өрнегінен, қорытқы тербелістің амплитудасы қосылған тербелістердің бастапқы фазаларының айырылымына тәуелді екені шығады. Дербес жағдайларды қарстырайық:

1. Фаза айырым ноль немесе -ге еселенген болсын. , онда және , яғни қорытқы тербелістің амплитудасы мен -нің қосындысына тең.

2. Қосылған тербелістердің фаза айырымы -дің тақ санына тең , онда и , яғни қорытқы тербелістің амплитудасы мен -нің айырымына тең.

Өзара перпендикуляр тербелістерді қосу.Өзара перпендикуляр бағыттардағы тербелістерді қосуды қарастырайық (7.3-сурет). Олардың дөңгелектік (циклдік) жиіліктері және фазалары бірдей, ал амплитудалары әртүрлі болсын:

, .

Екінші теңдеуді біріншіге бөлгеннен кейін

(7.8 )

7.3-сурет болады, яғни (7.8) өрнегі, осындай екі тербелістерді қосу нәтижесінде алынған қорытқы тербеліс түзу бойымен жасалады және оның осіне көлбеулік бұрышы мына өрнекпен анықталады:

(7.9)

ал осы түзу бойлап ығысу

(7.10)

Бұл тербелісті сызықты – поляризацияланған деп атайды.

Егер екі тербеліс арасындағы фазалар айырымы -ге тең болса қосылатын тербелістерді мынадай түрде жазуға болады

(7.11)

Оларды мынадай түрге келтіруге болады

, (7.12)

Егер теңдеулерді квадраттап, қосатын болсақ, онда

(7.13)

(7.13) өрнегі – эллипс теңдеуі, яғни нүкте қозғалысы эллипстік траектория бойынша болады (7.4-сурет). Келтірілген жағдайда эллипс бойынша қозғалыс сағат тілі бағытымен болады. болған жағдайда (7.13) теңдеуі шеңбер теңдеуіне айналады :

(7.14)

Серіппедегі жүктің тербелісі, математикалық және физикалық маятниктер. Серпімді күштің әсерінен болатын тербелістерді, мысалы серіппелі маятниктің тербелісін қарастырайық. Серіппелі маятник ретінде абсолют серпімді серіппеге ілінген массасы жүкті алуға болады. серпімді күштің әсерінен серіппелі маятник гармоникалық тербеліс жасайды. Серпімділік коэффициент берілген жағдайда қаттылық деп аталады.

Тепе-теңдік күйден шығарылған тербелістегі жүйеге сырттан ешқандай әсер болмаған кездегі жүйенің онан арғы тербелісі еркін тербеліс деп аталады. Ньютонның екінші заңына серпімді (немесе квазисерпімді) күш үшін өрнекті қойсақ:

(7.15)

немесе (7.16)

мұндағы , , -тербелмелі жүйенің меншікті жиілігі деп аталатын шама. Сонымен, үйкеліс күші болмаған кезде, серпімді (немесе квазисерпімді) күш әсерінен болатын қозғалыс (7.16) дифференциалды теңдеуімен сипатталады, оның шешімі

(7.17)

Олай болса, түріндегі күш әсерінде тұрған жүйе қозғалысы гармоникалық тенрбеліс болып табылады. Серіппелі маятниктің тербеліс периоды

(7.18)

Бұл өрнек, серіппе массасы дене массасымен салыстырғанда аз болған кезде орынды.

Квазисерпімді күштерді әсерінен (серпімді күштерден табиғаты бөлек, бірақ ығысуға пропорционал, яғни шартын қанағаттандыратын күш) гармониялық тербеліс жасайтын денелерге физикалық және математикалық маятниктер жатады. Бұл маятниктер өте маңызды практикалық мәнге ие.

Физикалық маятник деп оның ауырлық ценрі арқылы өтпейтін кез-келген нүктесі арқылы осінің төңірегінде тербеліске келетін қатты денені айтамыз (7.5-сурет). -ға тең қашықтығы физикалық маятниктің ұзындығы деп аталады.

8.5-сурет

Маятникті тепе-теңдік қалпынан бұрышқа бұрған кезде, маятникті алғашқы қалыпқа алып келуге тырысатын айналдырушы момент пайда болады. күшінің айналдырушы моменті

(7.19)

Шексіз аз бұрыш кезінде екенін ескеріп, момент болады. Маятниктің айналу бұрышының уақытқа тәуелділігін алу үшін, қозғалмайтын оське қатысты айналатын дене динамикасының негізгі заңын пайдаланамыз:

(7.20)

(7.19) және (7.20) теңдеулерді теңестіріп, келесі өрнекті аламыз:

(7.21)

немесе

мұндағы осіне қатысты маятниктің инерция моменті, - бұрыштық үдеу, ал деп белгіейік, сонда

(7.22)

Алынған (7.22) өрнектің шешімі (7.16) өрнек шешіміне ұқсас болады:

(7.23)

Сондықтан, аз тербелістер кезінде физикалық маятниктің ауытқуы уақыт бойынша гармониялық заң арқылы өзгереді. Олай болса, физикалық маятниктің аз тербелістер кезіндегі периоды

(7.24)

Бұл өрнекті техникада дененің инерция моментін олардың тербелістерінің периоды бойынша тәжірибелік анықтау кезінде жиі пайдаланады.

Математикалық маятник. Созылмайтын және салмақсыз жіпке ілінген, барлық массасы бір нүктеге жинақталған материалды нүктені математикалық маятник деп атайды. Тәжірибеде ұзындығы дененің сызықтық мөлшерінен көптеген есе үлкен болатын, жеңіл жіпке ілінген ауыр денені математикалық маятник деп есептеуге болады. Егер жіптің вертикалымен жасайтын аса үлкен емес бұрышына маятникті тепе-теңдік қалпынан ауытқытып, содан оны еркін жіберсек, онда ол вертикал жазықтықта өзінің меншікті салмақ құрушысының әсерінен тербеле бастайды. Берілген жағдайда дененің инерция моменті болады, мұндағы -математикалық маятник ұзындығы. Математикалық маятник физикалық маятниктің дербес түрі деп есептеп, (7.24) өрнегінен алатынымыз

(7.25)

(7.25)-тен: математикалық маятниктің тербеліс периоды тек маятник ұзындығына және ауырлық күші үдеуіне тәуелді, массасына тәуелсіз екені көрінеді. (7.24) және (7.25) өрнектерін салыстырсақ

(7.26)

мұндағы - физикалық маятниктің келтірілген ұзындығы. Келтірілген ұзындық деп тербеліс периоды физикалық маятниктің периодымен сәйкес келетін математикалық маятникті айтамыз.

Гюйгенс-Штейнер теоремасы бойынша

(7.27)

мұндағы - массалар центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті.

Сондықтан, физикалық маятниктегі ОС түзу бойлап ұзындығы түзу кесіндісін алайық. нүкте айналу центрі деп аталады. Бұл нүктені математикалық нүкте ретінде қабылдасақ, және осы нүктеге физикалық маятниктің барлық массасы жинақталған деп есепетесек, оның тербеліс периоды өзгермейді. Демек, маятниктің іліну нүктесі мен айналу центрі массалар центрі С нүктенің екі жағында жатады және массалар центрінен бірдей қашықтықта жатқан барлық іліну нүктелері үшін маятниктің келтірілген ұзындықтары және тербеліс периодтары Т бірдей болады. Бұл жағдайда іліну нүктесі О мен айналу центрі бір-бірімен орын алмасуы мүмкін.

(7.28)

Егер маятникті айналу центрі нүктесіне ілсек, оның тербеліс периоды өзгермейді, бұрынғы іліну нүктесі жаңа айналу центрі болады. Бұл тұжырым Гюйгенс теоремасы деп аталады.

Гармониялық тербелістер жасайтын денелер кинетикалық және потенциалық энергияларға ие болады. Егер тербеліс өрнекпен сипатталса, онда жүктің жылдамдығы ға тең. Олай болса, дененің кинетикалық энергиясы

(7.29)

түріндегі күштің әсерінде тұрған жүйенің потенциалдық энергиясы немесе екендігін ескерсек, онда

(7.30)

Тербелістегі механикалық жүйенің толық энергиясы

(7.31)

Кинетикалық және потенциалдық энергия уақыт бойынша өзгереді, жүйе тепе-теңдік күйден өткен кезде дененің жылдамдығы ең үлкен болады, сондықтан кинетикалық энергия максимал болады. Бұл мезетте квазисерпімді күш болмайды, сондықтан потенциалды энергия нольге тең. Тербелістегі әрі қарай қозғалу жағдайында квазисерпімді күштер теріс жұмыс жасайды, соның есебінен кинетикалық энергия кемиді, ал потенциалдық энергия артады. Тербеліс процесі кезінде кинетикалық энергия үздіксіз потенциалық энергияға ауысу және керісінше жағдайлар болып тұрады. Еркін тербеліс жасайтын тербелмелі жүйелердің ерекшелігі осында. (8.31) өрнек жүйенің толық энергиясы тұрақты болады. Егер үйкеліс есепке алсақ, онда уақыттың өтуіне қарай жүйенің толық энергиясы кемиді. Меншікті тербеліс бұл жағдайда өшетін тербеліс болып табылады.

Өшетін тербелістер. Тұтқыр ортада тепе-теңдік нүктесі айналасында тербелген денеге, серпімді (немесе квазисерпімді) күшінен басқа қозғалыс жылдамдығына пропорционал кедергі күші әсер етеді, мұндағы - кедергі коэффициенті, минус таңбасы мен векторларының қарама-қарсы бағытта екенін көрсетеді. Бұл заңдылық қозғалыс жылдамдығы аз болған жағдайда орындалады.

күшін ескерсек, онда қозғалыс теңдеуі

(7.32)

түріне келеді, мұндағы дене массасы, - оның үдеуі, - қайтарушы күш. Үдеу және жылдамдық екенін ескерсек, өрнектерінің негізінде (7.32) теңдеуді мына түрде жазуға болады.

(7.33)

Поиск по сайту: